Beweis Minimalpolynom Nullstel < Eigenwerte < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Minimalpolynom hat die gleichen Nullstellen des char. Polynoms. |
sei [mm] \mu(f) [/mm] = [mm] f^m [/mm] + [mm] a_{m-1}*f^{m-1} [/mm] + ... + [mm] a_1*f [/mm] + [mm] a_0*Id [/mm] = 0 nach Def des Minimalpolynoms.
so jetzt kann ich ja beide Seiten auf einem Eigenvektor zu einenm beliebigen Eigenwert k anwenden...
[mm] \mu(f)(v) [/mm] = [mm] f^m(v) [/mm] + [mm] a_{m-1}*f^{m-1}(v) [/mm] + ... + [mm] a_1*f(v) [/mm] + [mm] a_0*Id(v) [/mm] = 0(v)
--> [mm] \mu(k)*v [/mm] = [mm] k^m [/mm] *v + [mm] a_{m-1}*k^{m-1}*v [/mm] + ... + [mm] a_1*k*v [/mm] + [mm] a_0*v [/mm] = 0
hier meine frage: wieso geht das so einfach? wieso ist jetzt gerade [mm] f^m(v) [/mm] = [mm] k^m*v [/mm] ; also klar ich weiß, dass es daran liegt dass es der Eigenvektor ist und so definiert ist, aber wieso geht das auch mit der Potenz bzw wieso potenziert sich dann nur der Eigenwert und wieso nicht der Eigenvektor?
und weil v [mm] \not= [/mm] 0 ist, folgt daraus ja dass gerade k eine Nullstelle des Minimalpolynoms ist, und da k beliebig ist folgt die Behauptung dass die Nullstellen des charakteristischen Polynoms, also die Eigenwerte auch Nullstellen des Minimalpolynoms sind.
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> Minimalpolynom hat die gleichen Nullstellen des char.
> Polynoms.
> sei [mm]\mu(f)[/mm] = [mm]f^m[/mm] + [mm]a_{m-1}*f^{m-1}[/mm] + ... + [mm]a_1*f[/mm] + [mm]a_0*Id[/mm]
> = 0 nach Def des Minimalpolynoms.
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> so jetzt kann ich ja beide Seiten auf einem Eigenvektor zu
> einenm beliebigen Eigenwert k anwenden...
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> [mm]\mu(f)(v)[/mm] = [mm]f^m(v)[/mm] + [mm]a_{m-1}*f^{m-1}(v)[/mm] + ... + [mm]a_1*f(v)[/mm] +
> [mm]a_0*Id(v)[/mm] = 0(v)
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> --> [mm]\mu(k)*v[/mm] = [mm]k^m[/mm] *v + [mm]a_{m-1}*k^{m-1}*v[/mm] + ... + [mm]a_1*k*v[/mm] +
> [mm]a_0*v[/mm] = 0
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> hier meine frage: wieso geht das so einfach? wieso ist
> jetzt gerade [mm]f^m(v)[/mm] = [mm]k^m*v[/mm] ; also klar ich weiß, dass es
> daran liegt dass es der Eigenvektor ist und so definiert
> ist, aber wieso geht das auch mit der Potenz bzw wieso
> potenziert sich dann nur der Eigenwert und wieso nicht der
> Eigenvektor?
Hallo,
überleg' Dir mal, was [mm] f^m(v) [/mm] bedeutet! Hier liegt nämlich Dein Fehler...
Und wenn Du das getan hast, kannst Du per Induktion beweisen:
Ist k ein EW von f und v ein zugehöriger EV, so gilt [mm] f^n(v)=k^n*v.
[/mm]
Mal abgesehen davon: was soll man sich denn überhaupt unter potenzierten Vektoren vorstellen...
Gruß v. Angela
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> und weil v [mm]\not=[/mm] 0 ist, folgt daraus ja dass gerade k eine
> Nullstelle des Minimalpolynoms ist, und da k beliebig ist
> folgt die Behauptung dass die Nullstellen des
> charakteristischen Polynoms, also die Eigenwerte auch
> Nullstellen des Minimalpolynoms sind.
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ja danke.. stimmt, da hab ich nicht drüber nachgedacht aber f(v) = k*v und [mm] f^m [/mm] = [mm] f^{m-1}(f(v)) [/mm] = [mm] f^{m-1}(k*v) [/mm] = k * [mm] f^{m-1}(v) [/mm] = .....
richtig??
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> ja danke.. stimmt, da hab ich nicht drüber nachgedacht
> aber f(v) = k*v und [mm]f^m[/mm] = [mm]f^{m-1}(f(v))[/mm] = [mm]f^{m-1}(k*v)[/mm] = k
> * [mm]f^{m-1}(v)[/mm] = .....
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> richtig??
Ja, genau.
Mit der richtigen Def. wird plötzlich alles klar.
Gruß v. Angela
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