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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:20 Mi 10.10.2007 | | Autor: | just_me |
| Aufgabe | Beweisen Sie:
Ist der Graph einer Funktion f symmetrisch zum Ursprung, dann ist der Graph von [mm]x \to f(x-x_{0}) + y_{0}[/mm] symmetrisch zum Punkt [mm]P(x_{0} | y_{0})[/mm]. |
Hallo,
ich habe mit oben genannter Aufgabe ein bisschen Schwierigkeiten. Im Prinzip weiss ich gar nicht, wo ich anfangen soll.
Da hier aber ja eigene Loesungsansaetze gern gesehen sind, schreib ich trotzdem mal gerade, wie ich angefangen hab.
Ich wollte mit der rechten Seite anfangen:
[mm]f(x-x_{0})+y_{0}[/mm]
[mm]f(x-x_{0} + \bruch{1}{2}(f(x_{0}-h) + f(x_{0}+h)[/mm]
und dann hab ich das ganze nochmal ausmultipliziert, auch wenn das eigentlich nichts gebracht hat.
[mm]f(x-x_{0}) + \bruch{1}{2}f(x_{0}-x) + \bruch{1}{2}f(x_{0}+h)[/mm]
So und jetzt komm ich nicht weiter, was glaub ich auch einfach daran liegt, dass ich total auf dem Holzweg bin.
Leider muss ich mir das auch gerade irgendwie selbst beibringen, weil ich im Ausland (Austauschjahr) bin, also waer ich dankbar fuer ein paar hilfreiche Anregungen und Loesungsansaetze.
Liebe Gruesse,
just_me
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:54 Mi 10.10.2007 | | Autor: | Blech |
> Beweisen Sie:
> Ist der Graph einer Funktion f symmetrisch zum Ursprung,
> dann ist der Graph von [mm]x \to f(x-x_{0}) + y_{0}[/mm] symmetrisch
> zum Punkt [mm]P(x_{0} | y_{0})[/mm].
> Hallo,
>
> ich habe mit oben genannter Aufgabe ein bisschen
> Schwierigkeiten. Im Prinzip weiss ich gar nicht, wo ich
> anfangen soll.
Punktsymmetrie zum Ursprung:
g(x)=-g(-x)
Du verschiebst jetzt den Punkt zu dem der Graph symmetrisch ist.
(Zeichne Dir das am besten auf, nimm eine beliebige punktsymmetrische Funktion)
Und das machst Du in 2 Schritten:
1. Mach die Funktion symmetrisch zum Punkt [mm] (x_0,0). [/mm]
D.h. es muß gelten:
(I): [mm] $g(x_0+x)=-g(x_0-x)$
[/mm]
Du hast jetzt eine Funktion, die f(x)=-f(-x) erfüllt (sie ist ja punktsymmetrisch zum Ursprung), was mußt Du also machen, damit (I) erfüllt ist?
2. Jetzt verschieb den Punkt von [mm] (x_0,0) [/mm] zu [mm] (x_0,y_0).
[/mm]
Wir haben jetzt eine Funktion, die (I) erfüllt, und brauchen eine, die
(II): [mm] $h(x_0+x)-y_0=y_0-h(x_0-x) [/mm] = -( [mm] h(x_0-x)-y_0)$ [/mm] erfüllt.
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