Beweis Rang Matrixprodukt < Matrizen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:43 Mi 18.01.2012 | | Autor: | s1mn |
| Aufgabe | Es sei A [mm] \in K^{n,n}, \lambda \in [/mm] K, B [mm] \in K^{m,n} [/mm] und C [mm] \in K^{n,m}. [/mm] Man beweise folgende Aussagen.
(a) Es gilt det( [mm] \lambda [/mm] A) = [mm] \lambda^{n} [/mm] det A. (erledigt).
(b) Es sei A invertierbar. Dann gilt rg AC = rg C. |
Hey Leute,
kurze Frage ob mein Ansatz zu Aufgabe (b) passt.
Also A ist invertierbar, d.h. A hat vollen Rang, also rg A = n.
C ist nicht quadratisch, hat aber auch n Zeilen, d.h. rg C [mm] \le [/mm] n.
Durch einen Satz aus der Vorlesung ist gegeben:
Der Rang eines Matrixprodukts ist höchstens kleiner als der Rang der jeweiligen Faktoren.
Im Internet hab ich gefunden, dass rg AB = min { rg A, rg B } ist.
da rg A quasi das Maximum darstellt und rg C nur [mm] \le [/mm] n sein kann, hängt der Rang rg AC nur von rg C ab.
Mein (Test) Aufschrieb sieht momentan so aus:
zz: rg AC = rg C
Beweis: A invertierbar [mm] \rightarrow [/mm] rg A = n
C [mm] \in K^{n,m} \rightarrow [/mm] rg C [mm] \le [/mm] n
rg A ist das Maximum der beiden Ränge, somit hängt rg AC nur von rg C ab( laut Satz 2.3 ).
[mm] \rightarrow [/mm] rg AC = rg C.
das könnte man ja noch ersetzen durch:
[mm] \rightarrow [/mm] rg AC [mm] \le [/mm] n
[mm] \Box
[/mm]
Ist das so in Ordnung ?
Sieht iwie sehr unmathematisch aus^^
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> Es sei A [mm]\in K^{n,n}, \lambda \in[/mm] K, B [mm]\in K^{m,n}[/mm] und C
> [mm]\in K^{n,m}.[/mm] Man beweise folgende Aussagen.
> (a) Es gilt det( [mm]\lambda[/mm] A) = [mm]\lambda^{n}[/mm] det A.
> (erledigt).
> (b) Es sei A invertierbar. Dann gilt rg AC = rg C.
>
>
> Hey Leute,
>
> kurze Frage ob mein Ansatz zu Aufgabe (b) passt.
>
> Also A ist invertierbar, d.h. A hat vollen Rang, also rg A
> = n.
> C ist nicht quadratisch, hat aber auch n Zeilen, d.h. rg C
> [mm]\le[/mm] n.
> Durch einen Satz aus der Vorlesung ist gegeben:
>
> Der Rang eines Matrixprodukts ist höchstens kleiner als
> der Rang der jeweiligen Faktoren.
>
> Im Internet hab ich gefunden, dass rg AB = min { rg A, rg B
> } ist.
Nein es gilt [mm]rg(AB)\leq \min\{rg(A),rg(b)\}[/mm]
>
> da rg A quasi das Maximum darstellt und rg C nur [mm]\le[/mm] n sein
> kann, hängt der Rang rg AC nur von rg C ab.
>
> Mein (Test) Aufschrieb sieht momentan so aus:
>
> zz: rg AC = rg C
>
> Beweis: A invertierbar [mm]\rightarrow[/mm] rg A = n
> C [mm]\in K^{n,m} \rightarrow[/mm] rg C [mm]\le[/mm] n
Stimmt schon, braucht man aber nicht wirklich
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> Ist das so in Ordnung ?
> Sieht iwie sehr unmathematisch aus^^
Betrachte "C" und "AC" als lineare Funktionen.
Zeige [mm] $y\in Bild(C)\gdw y\in [/mm] Bild(AC)$ durch zwei Implikationen (verwendet Definition vom Bild). Das ist sogar hier eine stärkere Aussage
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