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(Frage) überfällig  | | Datum: | 19:14 Fr 26.09.2014 | | Autor: | Picard |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Hallo,
hatte folgendes Verständnisproblem schon bei den Bililinearformen. Da es jetzt wieder bei den Sesquilinearformen auftritt und ich es immer noch nicht verstehe, kann mir vielleicht jemand weiterhelfen. Folgendes Problem:
Proposition: Sesquilinearformen und Hermitische Matrizen
Sei V ein n-dimensionaler C-Vektorraum, und sei B eine Basis von V. Sei S(V) die Menge der Sesquilinearformen auf V, und sei [mm] H_{n} [/mm] die Menge der n x n Hermiteschen Matrizen. Dann ist die Abbildung [mm] M_{B}:S(V) \to H_{n}, [/mm] die jeder Sesquilinearform [mm] \sigma [/mm] ihre Matrixdarstellung bezüglich B zuordnet, bijektiv.
Ok, Proposition ist verstanden. Im Beweis kommt das Verständnisproblem
Beweis:
...Sei [mm] H_{n} \to [/mm] S(V) die Abbildung, die jeder Hermitschen Matrix [mm] A=(a_{ij}) [/mm] die oben definierte Sesquilinearform [mm] \sigma_{A} [/mm] zuordnet.
Sei [mm] B=(v_{1},...v_{n}), [/mm] und seien [mm] e_{1},...,e_{n} [/mm] die Standardbasisvektoren des [mm] \IC^{n}. [/mm]
Dann gilt [mm] \sigma_{A}(v_{i},v_{j})=e_i^T [/mm] A [mm] \overline{e_{j}}=e_i^T [/mm] A [mm] e_{j}=a_{ij}, [/mm] und es folgt [mm] M_{B}(\sigma_{A}) [/mm] = A für alle Hermitschen Matrizen A.
Ich verstehe nicht warum die Standardbasisvektoren ins Spiel kommen.
Sind die Vektoren [mm] v_{i} [/mm] und [mm] v_{j} [/mm] Elemente aus B (Basisvektoren) oder beliebige Vektoren (ungünstigerweise auch als v bezeichnet)? Ich würde sagen es sind Elemente aus B. Dann müsste aber anstatt [mm] e_i^T [/mm] doch der Koordinatenvektor für [mm] v_{i} [/mm] bzgl der Standardbasis stehen....?
Mir raucht gerade ziemlich der Kopf. Ich glaube es ist ganz einfach, aber ich sehe es einfach nicht bzw. ich mache es komplizierter als es ist...
Danke für die Hilfe...
Gruß
Picard
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:17 Sa 27.09.2014 | | Autor: | Hans11 |
Hallo,
> Ich verstehe nicht warum die Standardbasisvektoren ins
> Spiel kommen.
> Sind die Vektoren [mm]v_{i}[/mm] und [mm]v_{j}[/mm] Elemente aus B
> (Basisvektoren) oder beliebige Vektoren (ungünstigerweise
> auch als v bezeichnet)? Ich würde sagen es sind Elemente
> aus B.
Die [mm]v_i[/mm] sind Vektoren aus der Basis B.
>
Dann müsste aber anstatt [mm]e_i^T[/mm] doch der
> Koordinatenvektor für [mm]v_{i}[/mm] bzgl der Standardbasis
> stehen....?
>
Dich hindert keiner daran, die Abbildung genau so zu definieren, wie sie definiert wurde. Offenbar ist nämlich [mm]\sigma_A[/mm] eine (hermitesche) Sesquilinearform, die das richtige tut, d.h. es ist [mm] \sigma_{A}(v_{i},v_{j})=a_{ij} [/mm], deine Abbildung [mm] $M_B$ [/mm] ist damit surjektiv.
Liebe Grüße
Hans
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 09:35 Sa 27.09.2014 | | Autor: | Picard |
Hallo,
Hmm... ist mir leider noch nicht ganz klar.
Heißt dass, das sozusagen anstatt der Basis [mm] B=(v_{1},...,v_{n}), B=(e_{1},...,e_{2}) [/mm] verwendet worden ist?...Wieso schreibt man dann nicht gleich: [mm] \sigma_{A}(e_{i},e_{j})=...?
[/mm]
Schöne Grüße
Picard
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:15 Sa 27.09.2014 | | Autor: | hippias |
> Hallo,
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> Hmm... ist mir leider noch nicht ganz klar.
> Heißt dass, das sozusagen anstatt der Basis
> [mm]B=(v_{1},...,v_{n}), B=(e_{1},...,e_{2})[/mm] verwendet worden
> ist?...Wieso schreibt man dann nicht gleich:
> [mm]\sigma_{A}(e_{i},e_{j})=...?[/mm]
Das duerfte falsch sein, weil i.a. die Standardbasis nicht in $V$ ist.
Ich stimme zu, dass die Verwendung der Standardbasis nicht notwendig ist: Bei gegebener hermitischer Matrix $A$ und Basis [mm] $(v_{i})$ [/mm] von $V$, definiere ich eine Bilinearform [mm] $\sigma_{A}:V\times V\to \IC$ [/mm] durch [mm] $\sigma_{A}(v_{i},v_{j}):= a_{i,j}$. [/mm] Diese ist offensichtlich(?) hermitisch und [mm] $M_{B}(\sigma_{A})= [/mm] A$. Damit kann ich zeigen, dass die Abbildung [mm] $A\mapsto \sigma_{A}$ [/mm] alle geforderten Eigenschaften hat, ohne auf irgendeine Basis von [mm] $\IC^{n}$ [/mm] einzugehen; ich brauche [mm] $\IC^{n}$ [/mm] hier sogar ueberhaupt gar nicht.
Vielleicht war euer Beweisgang auch so: Sei [mm] $(v_{i})$ [/mm] eine Basis von $V$ und [mm] $(e_{i})$ [/mm] Standardbasis von [mm] $\IC^{n}$. [/mm] Wie eben sei $A$ hermitisch. Bekanntermassen (?) induziert [mm] $e_{i}^{t}Ae_{j}$ [/mm] eine Sesquilinearform $s$ auf [mm] $\IC^{n}$. [/mm] Damit konstruiere ich eine Sesquilinearform auf $V$ so: Es gibt einen Isomorphismus [mm] $\phi:V\to \IC^{n}$ [/mm] mit [mm] $b_{i}^{\phi}= e_{i}$. [/mm] Nun definiere ich eine Bilinearform [mm] $\sigma_{A}$ [/mm] auf $V$ durch [mm] $\sigma_{A}(v,w):= s(v^{\phi}, w^{\phi})$. [/mm]
Damit ist insbesondere [mm] $\sigma_{A}(v_{i},v_{j})= s(v_{i}^{\phi}, v_{j}^{\phi})= s(e_{i}, e_{j})= e_{i}^{t}Ae_{j}$.
[/mm]
Wieder lassen sich alle Behauptungen mittels der Abbildung [mm] $A\mapsto \sigma_{A}$ [/mm] leicht nachweisen.
>
> Schöne Grüße
> Picard
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:20 So 28.09.2014 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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