Beweis Summe < Wahrscheinlichkeit < Stochastik < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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Folgendes gilt zu beweisen:
[mm] \summe_{i=0}^{n}i*P(x=i)=n*p
[/mm]
[mm] \gdw\summe_{i=0}^{n}i*\vektor{n \\ i}*p^i*(1-p)^{n-i}=n*p
[/mm]
Zunächst habe ich mir überlegt, auf beiden Seiten durch p zu dividieren, was dann so aussehen sollte:
[mm] \summe_{i=0}^{n}i*\vektor{n \\ i}*p^{i-1}*(1-p)^{n-i}=n
[/mm]
Diese Gleichung würde ich nun mit der vollständigen Induktion beweisen.
Ich weiß nicht, ob dies der beste(oder überhaupt ein richtiger)Weg ist.
Soweit ich weiß, müsste ich nun den Induktionsanfang, n=0, ausprobieren.
Also
[mm] \summe_{i=0}^{0}i*\vektor{n \\ i}*p^{i-1}*(1-p)^{n-i}=n
[/mm]
Dies führt zu einer wahren Aussage.
Als nächstes den Induktionsschritt.
Dies würde bedeuten als obere Grenze n und n+1 auszuprobieren.
Doch leider weiß ich nicht wie es hier gehen soll.
Für die obere Grenze n:
[mm] \summe_{i=0}^{n}i*\vektor{n \\ i}*p^{i-1}*(1-p)^{n-i}=n
[/mm]
[mm] \gdw 0*\vektor{n \\ 0}*p^{-1}*(1-p)^n+1*\vektor{n \\ 1}*p^{0}*(1-p)^{n-1}+...+n*\vektor{n \\ n}*p^{n-1}*(1-p)^0=n
[/mm]
Vielleicht kann mir jemand helfen wie es weiter geht, oder ob es überhaupt so geht.
Danke im Vorraus.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:54 Mo 25.05.2009 | | Autor: | Roadrunner |
Hallo heatshawk!
Deine Umformung, welche Du durchführst, musst Du auch auf beiden Seiten durchführen (das hast Du nicht getan).
Kannst Du uns noch etwas mehr über die Randbedingungen wie z.B. $P(X=i)_$ verraten?
Gruß vom
Roadrunner
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:00 Mo 25.05.2009 | | Autor: | Heatshawk |
P(X=k)(Index n,p)= [mm] \vektor{n \\ k}p^k(1-p)^{n-k}
[/mm]
Wo genau habe ich eine Umformung auf beiden Seiten vergessen?
Sehe es im Moment nicht.
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:13 Mo 25.05.2009 | | Autor: | luis52 |
Moin Andreas,
Da schau her. Gehen Sputnik und du in dieselbe Klasse?
vg Luis
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[mm] n*p*\summe_{k=1}^{n}\vektor{n-1 \\ k-1}p^{k-1}(1-p)^{(n-1)-(k-1)}
[/mm]
[mm] =n*p*\summe_{l=0}^{n-1}\vektor{n-1 \\ l}p^{l}(1-p)^{(n-1)-l}
[/mm]
Läuft der obere Laufindex in diesem Fall bis n-1, da l=k-1 und k bis n lief?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 10:55 Mi 27.05.2009 | | Autor: | Teufel |
Hi!
Ja. Bei Indexverschiebungen sollte man die obere Grenze nie vergessen.
Man kann es ja auch als [mm] $\summe_{k=1}^{k=n}(...)$ [/mm] schreiben, was die Sache auch deutlicher machen würde.
![[anon]](/images/smileys/anon.png "[anon]") Teufel
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![[bonk]](/images/smileys/bonk.gif "[bonk]"){kind=small}
... schon der 2. erlegte Bock innehalb einer Stunde. Ich sollte für heute aufhören. ![[kopfschuettel]](/images/smileys/kopfschuettel.gif "[kopfschuettel]"){kind=small}
![[sorry]](/images/smileys/sorry.gif "[sorry]"){kind=small}
