Beweis Summe 1/m^k < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Hallo!
Ok, also ein zweiter Thread für die zweite Frage ...
Wir habennoch eine zweite Beweisaufgabe und zwar sollen wir zeigen [mm] \summe_{k=1}^n \bruch{1}{m^k} [/mm] = [mm] \bruch{1}{m-1} [/mm] (1- [mm] \bruch{1}{m^n}). [/mm] (n [mm] \in \IN [/mm] $ mit m > 1)
Vermutlich müssen wir hier wieder ohne Induktion arbeiten wieder bekannte Aussagen verwenden, aber irgendwie finden wir nicht, womit es klappt... Unser Gedanke war die geometrische Summenformel, aber damit gehts schief (oder?)...
LG
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:13 Do 26.05.2011 | | Autor: | fred97 |
> Hallo!
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> Ok, also ein zweiter Thread für die zweite Frage ...
> Wir habennoch eine zweite Beweisaufgabe und zwar sollen
> wir zeigen [mm]\summe_{k=1}^n \bruch{1}{m^k}[/mm] = [mm]\bruch{1}{m-1}[/mm]
> (1- [mm]\bruch{1}{m^n}).[/mm] (n [mm]\in \IN[/mm] $ mit m > 1)
> Vermutlich müssen wir hier wieder ohne Induktion arbeiten
> wieder bekannte Aussagen verwenden, aber irgendwie finden
> wir nicht, womit es klappt... Unser Gedanke war die
> geometrische Summenformel, aber damit gehts schief
> (oder?)...
Damit geht es wunderbar ! Was soll dabei schief gehen ?
FRED
>
> LG
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:19 Do 26.05.2011 | | Autor: | Isabelle90 |
ok, vielen Dank, dann werden wir das nochmal versuchen... gerade eben haben wir es versucht, aber habens irgendwie nicht hinbekommen...
wir versuchens einfach nochmal und falls immer noch Fragen auftauchen, schreiben wir nochmal :)
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Also wir haben nun wie folgt angesetzt
[mm] \summe_{k=1}^n \bruch{1}{m^k} [/mm] = [mm] \summe_{k=1}^n (\bruch{1}{m})^k [/mm] = (geom. Summenformel) [mm] \bruch{1-(\bruch{1}{m})^{n+1}}{1-(\bruch{1}{m})} [/mm] = (1- [mm] \bruch{1}{m^{n+1}})(\bruch{m}{m-1})
[/mm]
Das sieht dem ganzen was gezeigt werden soll ja auch schon ähnlich, aber wie kommen wir von unserem Punkt aus auf [mm] \bruch{1}{m-1}(1-\bruch{1}{m^n})?
[/mm]
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Hallo Isabelle90,
> Also wir haben nun wie folgt angesetzt
> [mm]\summe_{k=1}^n \bruch{1}{m^k}[/mm] = [mm]\summe_{k=1}^n (\bruch{1}{m})^k[/mm]
> = (geom. Summenformel)
> [mm]\bruch{1-(\bruch{1}{m})^{n+1}}{1-(\bruch{1}{m})}[/mm] = (1-
> [mm]\bruch{1}{m^{n+1}})(\bruch{m}{m-1})[/mm]
Die angebene geometrische Summenformel gilt ab dem Startindex 0:
[mm]\summe_{k=\blue{0}}^{n}\left( \bruch{1}{m}\right)^{k}=\bruch{1-(\bruch{1}{m})^{n+1}}{1-(\bruch{1}{m})}[/mm]
Um das jetzt auf die Summe [mm]\summe_{k=1}^{n}\left( \bruch{1}{m}\right)^{k}[/mm] anwenden zu können mußt Du 1 abziehen:
[mm]\summe_{k=1}^{n}\left( \bruch{1}{m}\right)^{k}=\summe_{k=0}^{n}\left( \bruch{1}{m}\right)^{k}-1[/mm]
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> Das sieht dem ganzen was gezeigt werden soll ja auch schon
> ähnlich, aber wie kommen wir von unserem Punkt aus auf
> [mm]\bruch{1}{m-1}(1-\bruch{1}{m^n})?[/mm]
Gruss
MathePower
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:37 Do 26.05.2011 | | Autor: | Isabelle90 |
Danke :)
Bei dem Index waren wir wohl nicht aufmerksam genug... Jetzt klappt aber alles so, wie es sollte! Vielen Dank nochmal!
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