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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:39 Fr 09.12.2011 | | Autor: | Catman |
| Aufgabe | Beweisen Sie, dass für jede Primzahl p gilt: [mm] p|2^p [/mm] - 2
Hinweis: Verwenden Sie die Binominalformel in [mm] 2^p [/mm] -2 = [mm] (1+1)^p [/mm] -2 und die Bemerkung in Aufgabe 27. (Die bemerkung ist [mm] p|\vektor{p \\ k} [/mm] für alle 1 [mm] \le [/mm] k [mm] \le [/mm] p-1 ) |
Habe überhaupt keine Idee bei dieser Aufgabe. Wäre sehr dankbar für Hilfe.
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Hallo Catman,
schön, dass du uns so nett begrüßt und nicht einfach nur die Frage hinklatscht nach dem Motto: Löst mir die Kacke, aber flott!
Sehr motivierend!
> Beweisen Sie, dass für jede Primzahl p gilt: [mm]p|2^p[/mm] - 2
>
> Hinweis: Verwenden Sie die Binominalformel in [mm]2^p[/mm] -2 =
> [mm](1+1)^p[/mm] -2 und die Bemerkung in Aufgabe 27. (Die bemerkung
> ist [mm]p|\vektor{p \\
k}[/mm] für alle 1 [mm]\le[/mm] k [mm]\le[/mm] p-1 )
> Habe überhaupt keine Idee bei dieser Aufgabe.
Wie kann das sein?
Mit den Tipps steht (fast) die ganze Lösung da. So versteckt sind die doch nicht, stehen doch laut und deutlich da rum, die Tipps ...
![[kopfschuettel]](/images/smileys/kopfschuettel.gif "[kopfschuettel]")
Schreibe dir [mm]2^p=(1+1)^p[/mm] mal nach dem binomischen Lehrsatz hin und schaue, wie der erste und letzte Summand aussehen ...
Mehr sage ich nicht, schreib's dir hin, dann siehst du es und wirst "bedauern", überhaupt gepostet zu haben und dass du aus Faulheit nicht versucht hast, den Hinweisen nachzugehen ...
> Wäre sehr
> dankbar für Hilfe.
Auch dir einen schönen Abend!
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:02 Fr 09.12.2011 | | Autor: | Catman |
Sorry... das sollte jetzt echt nicht so rüberkommen.
Vielen Dank..und dir auch einen schönen Abend.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:51 Fr 09.12.2011 | | Autor: | Catman |
| Aufgabe | | Beweisen Sie mittels Vollständiger Induktion nach n, dass für jede Primzahl p und jede natürliche Zahl n [mm] \ge [/mm] 2 gilt: [mm] p|n^p [/mm] - n |
Nochmal sorry, dass das so rübergekommen ist. War wirklich ziemlich leicht der erste Teil der Aufgabe. (Aber ich bin einfach nicht drauf gekommen, dass so aufzuschreiben)
Nunja, bei der 2. Teilaufgabe hänge ich wieder. Also vielleicht brauch ich ja auch hier nur so einen kleinen Denkanstoß.
Bisher habe ich folgendes:
Induktionsanfang: n=2 (Ist in Teilaufgabe a bewiesen)
Induktionsvoraussetzung: für ein beliebiges, festes n [mm] \ge [/mm] 2 gelte [mm] p|n^p [/mm] - n
Indktionsbehauptung: Dann ist zu zeigen, dass auch [mm] p|(n+1)^p [/mm] - (n+1) gilt.
Induktionsschluss:
Also ich habe jetzt erstmal die Behauptung und die Voraussetzung umgeschrieben um evt. einen Zusammenhang zu finden.
Behauptung:
[mm] \vektor{p \\ 0} [/mm] + [mm] \vektor{p \\ 1} [/mm] * n + [mm] \vektor{p \\ 2} [/mm] * [mm] n^2 [/mm] + ... + [mm] \vektor{p \\ p} [/mm] * [mm] n^p [/mm] - (n+1)
Voraussetzung:
[mm] n^p [/mm] = (n-1 + [mm] 1)^p
[/mm]
-->
[mm] \vektor{p \\ 0} [/mm] + [mm] \vektor{p \\ 1}*(n-1)^1 [/mm] + [mm] \vektor{p \\ 2}*(n-1)^2 [/mm] + ... + [mm] \vektor{p \\ p}*(n-1)^p [/mm] -n
Jetzt weiß ich nur nicht wie ich die Behauptung auf die Voraussetzung zurückführen soll, da ist ja dann noch eine Minus 1 in der klammer und die Potenz steigt immer, also kann ich auch nichts ausklammern. Hat jemand einen Tipp?
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Hallo nochmal,
> Beweisen Sie mittels Vollständiger Induktion nach n, dass
> für jede Primzahl p und jede natürliche Zahl n [mm]\ge[/mm] 2
> gilt: [mm]p|n^p[/mm] - n
> Nochmal sorry, dass das so rübergekommen ist. War
> wirklich ziemlich leicht der erste Teil der Aufgabe. (Aber
> ich bin einfach nicht drauf gekommen, dass so
> aufzuschreiben)
Ist abgehakt!
> Nunja, bei der 2. Teilaufgabe hänge ich wieder. Also
> vielleicht brauch ich ja auch hier nur so einen kleinen
> Denkanstoß.
>
> Bisher habe ich folgendes:
>
> Induktionsanfang: n=2 (Ist in Teilaufgabe a bewiesen)
>
> Induktionsvoraussetzung: für ein beliebiges, festes n [mm]\ge[/mm]
> 2 gelte [mm]p|n^p[/mm] - n
>
> Indktionsbehauptung: Dann ist zu zeigen, dass auch
> [mm]p|(n+1)^p[/mm] - (n+1) gilt.
>
> Induktionsschluss:
>
> Also ich habe jetzt erstmal die Behauptung und die
> Voraussetzung umgeschrieben um evt. einen Zusammenhang zu
> finden.
>
> Behauptung:
>
> [mm]\vektor{p \\
0}[/mm] + [mm]\vektor{p \\
1}[/mm] * n + [mm]\vektor{p \\
2}[/mm] *
> [mm]n^2[/mm] + ... + [mm]\vektor{p \\
p}[/mm] * [mm]n^p[/mm] - (n+1)
>
> Voraussetzung:
>
> [mm]n^p[/mm] = (n-1 + [mm]1)^p[/mm]
>
> -->
>
> [mm]\vektor{p \\
0}[/mm] + [mm]\vektor{p \\
1}*(n-1)^1[/mm] + [mm]\vektor{p \\
2}*(n-1)^2[/mm]
> + ... + [mm]\vektor{p \\
p}*(n-1)^p[/mm] -n
>
> Jetzt weiß ich nur nicht wie ich die Behauptung auf die
> Voraussetzung zurückführen soll, da ist ja dann noch eine
> Minus 1 in der klammer und die Potenz steigt immer, also
> kann ich auch nichts ausklammern. Hat jemand einen Tipp?
Die Idee, das wieder mit dem binom Lehrsatz aufzudröseln ist richtig!
Bei mir klappte das so:
Wenn du dir [mm](n+1)^p-(n+1)[/mm] mal hinschreibst ...
Das ist [mm]=\sum\limtis_{k=0}^p\vektor{p\\
k}n^k \ -(n+1)[/mm]
[mm]=1+pn+\vektor{p\\
2}n^2+\ldots+\vektor{p\\
p-1}n^{p-1}+n^p \ -n-1[/mm]
Da kürzen sich die Einsen weg, dann kannst du ein klein wenig umklammern:
[mm]=\left[pn+\vektor{p\\
2}n^2+\ldots+\vektor{p\\
p-1}n^{p-1}\right] \ + \ n^p-n[/mm]
Der letzte Teil wird nach IV von p geteilt, der erste Teil nach dem einen Satz aus dem einen Hinweis aus Aufg. 1 (die Binomialkoeff. werden geteilt, damit auch die einzelnen Produkte)
Damit dann natürlich auch die Summe, was zu zeigen war.
Gruß
schachuzpus
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