Beweis: Teilkörper < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:20 Sa 05.11.2005 | | Autor: | nebben |
Was ist das neutrale element für die Multiplikation?
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1.
nein (Eigenschaft pflanzt sich auf jede Teilmenge fort)
2.
nein (Eigenschaft pflanzt sich auf jede Teilmenge fort)
3.
ja (Null- und Einselement liegen nicht zwangsläufig in einer Teilmenge; in Frage kommen nur die entsprechenden Elemente des Oberkörpers)
4.
nein (Eindeutigkeit ja schon im Oberkörper vorhanden)
5.
ja (die Inversen bzgl. Addition und Multiplikation liegen nicht zwangsläufig in einer Teilmenge; in Frage kommen nur die entsprechenden Elemente des Oberkörpers)
6.
nein (Eindeutigkeit ja schon im Oberkörper vorhanden)
7.
ja (zentral!, hängt auch mit 3. und 5. zusammen)
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:20 Sa 05.11.2005 | | Autor: | nebben |
Hallo
Kann sich dass jemand bitte mal anschauen und verbessern?
K=$ [mm] \{a+b\wurzel{2} :a,b \in \IQ \} [/mm] $
Ich weiß schon, dass man um zu zeigen, dass es sich um einen Teilörper handelt zeigen muss, dass folgendes gilt.
1.) ex=xe=x und e+x=x+e=x
2.) [mm] xx^{-1}=e [/mm] und [mm] x+x^{-1}=e [/mm]
3.) Abgeschlossenheit
Ich weiss aber nicht, wie ich den Beweis ansetzen soll.
1.)Zeigt man die Existens des neutralen Elements jeweils für a und b also:
für die Addition:
a+0=0+a=a
[mm] b\wurzel{2}+0=0+b\wurzel{2}=b\wurzel{2} [/mm]
für die Multiplikation:
a1=1a=a
[mm] b\wurzel{2}*1=1*b\wurzel{2}=b\wurzel{2} [/mm]
OK?
2.) Nun mache ich mal einfach weiter um die Existens der Inversen zu zeigen:
für die Addition:
[mm] a+a^{-1}=e=a^{-1}+a
[/mm]
[mm] b+b^{-1}\wurzel{2}= e*\wurzel{2}=b^{-1}\wurzel{2}+b
[/mm]
für die Multiplikation:
[mm] a*a^{-1}=e=a^{-1}*a
[/mm]
[mm] b*b^{-1}\wurzel{2}= e*\wurzel{2}=b^{-1}\wurzel{2}*b
[/mm]
Jedoch schaut das irgendwie nicht richtig mehr aus. Wie geht es hier richtig?
Abgeschlossenheit bedeutet ja, dass wenn man a,b aus [mm] \IR [/mm] \ auf den Teilkörper [mm] a+b\wurzel{2} [/mm] anwendet, kommt man nicht weiter als in [mm] \IQ [/mm]
Ich würde das ja so zeigen wollen, indem ich für a, b aus [mm] \IR [/mm] einsetze und sehe, dass man mit [mm] \IR [/mm] + [mm] \IR \wurzel{2} [/mm] rationale Zahlen erhält.
Ok?
gruß nebben
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 02:31 Mo 07.11.2005 | | Autor: | Marc |
Hallo nebben,
> Kann sich dass jemand bitte mal anschauen und verbessern?
>
> K=[mm] \{a+b\wurzel{2} :a,b \in \IQ \}[/mm]
>
> Ich weiß schon, dass man um zu zeigen, dass es sich um
> einen Teilörper handelt zeigen muss, dass folgendes gilt.
>
> 1.) ex=xe=x und e+x=x+e=x
> 2.) [mm]xx^{-1}=e[/mm] und [mm]x+x^{-1}=e[/mm]
> 3.) Abgeschlossenheit
>
> Ich weiss aber nicht, wie ich den Beweis ansetzen soll.
> 1.)Zeigt man die Existens des neutralen Elements jeweils
> für a und b also:
Wie Leopold_Gast bereits sagte, ist für die Existenz nur zu zeigen, dass die neutralen Elemente des Oberkörpers auch in diesem Teilkörper liegen, also sich in der geforderten Form darstellen lassen.
Für das neutrale Element der Addition wäre dies:
[mm] $0=0+0*\wurzel{2}\in [/mm] K$, da [mm] $0\in\IQ$.
[/mm]
Analog für das neutrale Element der Multiplikation.
> für die Addition:
> a+0=0+a=a
> [mm]b\wurzel{2}+0=0+b\wurzel{2}=b\wurzel{2}[/mm]
>
> für die Multiplikation:
> a1=1a=a
> [mm]b\wurzel{2}*1=1*b\wurzel{2}=b\wurzel{2}[/mm]
>
> OK?
Ich weiß nicht, was du damit eigentlich zeigen willst?
> 2.) Nun mache ich mal einfach weiter um die Existens der
> Inversen zu zeigen:
>
> für die Addition:
> [mm]a+a^{-1}=e=a^{-1}+a[/mm]
> [mm]b+b^{-1}\wurzel{2}= e*\wurzel{2}=b^{-1}\wurzel{2}+b[/mm]
Was zeigst du hier? ![[verwirrt]](/images/smileys/verwirrt.gif "[verwirrt]")
Du mußt zeigen, dass für alle [mm] $x\in [/mm] K$ auch das Inverse in K liegt; welches Element das jeweilige Inverse ist legt bereits der Oberkörper eindeutig fest.
Ich mache es mal vor:
Sei [mm] $x\in [/mm] K$.
Dann hat $x$ Darstellung [mm] $x=a+b\wurzel{2}$ [/mm] mit [mm] $a,b\in\IQ$.
[/mm]
Das Inverse $-x$ zu $x$ bzgl. der Addition ist offenbar [mm] $-x=(-a)+(-b)\wurzel{2})$, [/mm] denn es gilt
[mm] $x+(-x)=a+b\wurzel{2}+(-a)+(-b)\wurzel{2}=0$
[/mm]
Das Element [mm] $-x=(-a)+(-b)\wurzel{2}$ [/mm] liegt aber ebenfalls in K, da [mm] $-a,-b\in\IQ$.
[/mm]
> für die Multiplikation:
> [mm]a*a^{-1}=e=a^{-1}*a[/mm]
> [mm]b*b^{-1}\wurzel{2}= e*\wurzel{2}=b^{-1}\wurzel{2}*b[/mm]
>
>
> Jedoch schaut das irgendwie nicht richtig mehr aus. Wie
> geht es hier richtig?
Nachdem es nun für die Addition vorgemacht ist, müßtest du dasselbe nun für die Multiplikation schaffen (obwohl es etwas schwieriger ist, das Inverse Element zu finden...)
> Abgeschlossenheit bedeutet ja, dass wenn man a,b aus [mm]\IR[/mm] \
> auf den Teilkörper [mm]a+b\wurzel{2}[/mm] anwendet, kommt man
> nicht weiter als in [mm]\IQ[/mm]
Verstehe ich nicht.
> Ich würde das ja so zeigen wollen, indem ich für a, b aus
> [mm]\IR[/mm] einsetze und sehe, dass man mit [mm]\IR[/mm] + [mm]\IR \wurzel{2}[/mm]
> rationale Zahlen erhält.
Abgeschlossenheit bzgl. der Addition bedeutet, dass die Addition zweier Elemente [mm] $x_1,x_2$ [/mm] aus $K$ wieder in $K$ landet, also
[mm] $x_1,x_2\in [/mm] K\ [mm] \Rightarrow\ x_1+x_2\in [/mm] K$.
Konkret also:
Sei [mm] $x_1,x_2\in [/mm] K$.
Dann gibt es [mm] $a_1,b_1,a_2,b_2\in\IQ$ [/mm] so dass [mm] $x_1=a_1+b_1\wurzel{2}$ [/mm] und [mm] $x_2=a_2+b_2\wurzel{2}$.
[/mm]
Für [mm] $x_1+x_2$ [/mm] ergibt sich
[mm] $x_1+x_2=a_1+b_1\wurzel{2}+a_2+b_2\wurzel{2}=(a_1+a_2)+(b_1+b_2)\wurzel{2}\in [/mm] K$, da [mm] $a_1+a_2\in\IQ$ [/mm] und [mm] $b_1+b_2\in\IQ$.
[/mm]
Genauso ist dann noch die Abgeschlossenheit bzgl. der Multiplikation zu zeigen.
Viele Grüße,
Marc
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 01:56 Mo 07.11.2005 | | Autor: | nebben |
Kann sich das bitte jemand anschauen?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:35 Di 08.11.2005 | | Autor: | nebben |
Hallo Danke Marc. Ich habe die Aufgabe einfach nochmal hingeschrieben. gruß nebben
Behauptung: K= [mm] \{a+b\wurzel{2} :a,b \in \IQ \} [/mm] ist ein Teilkörper von [mm] \IR [/mm]
Beweis:
1.) Abgeschlossenheit für das Neutrale Element
a.)für die Addition
[mm] 0+0*\wurzel{2}=0 \in [/mm] K da 0 [mm] \in \IQ
[/mm]
b.)für die Multitplikation
[mm] 1+1*\wurzel{2}=1+\wurzel{2} [/mm] in K da [mm] 1+\wurzel{2}\in \IQ
[/mm]
2.) Abgeschlossenheit für die Inversen Elemente
Sei x [mm] \in [/mm] K und x= [mm] a+b\wurzel{2}
[/mm]
a.)für die Addition sei -x das Inverse zu x also -x= [mm] (-a)+(-b)\wurzel{2}, [/mm] da [mm] x+(-x)=a+b\wurzel{2}+(-a)+(-b)\wurzel{2}=0
[/mm]
b.)für die Mulitplikation sei [mm] x^{-1} [/mm] das Inverse zu x also [mm] x^{-1}= a^{-1}+b^{-1}\wurzel{2}, [/mm] da [mm] xx^{-1}=(a+b\wurzel{2}) (a^{-1}+b^{-1}\wurzel{2}=1
[/mm]
3.)Abgeschlossenheit
a.)für die Addition sei [mm] x_{1},x_{2} \in [/mm] K dann gibt es [mm] a_{1},b_{1},a_{2},b_{2} \in \IQ [/mm] sodass [mm] x_1=a_1+b_1\wurzel{2} [/mm] und
[mm] x_2=a_2+b_2\wurzel{2} \in \IQ [/mm]
Für [mm] x_1+x_2 [/mm] ergibt sich $ [mm] x_1+x_2=a_1+b_1\wurzel{2}+a_2+b_2\wurzel{2}=(a_1+a_2)+(b_1+b_2)\wurzel{2})\in [/mm] K $ da $ [mm] a_1+a_2\in\IQ [/mm] $ und $ [mm] b_1+b_2\in\IQ [/mm] $.
b.) für die Multiplikation sei [mm] x_{1},x_{2} \in [/mm] K dann gibt es [mm] a_{1},b_{1},a_{2},b_{2} \in \IQ [/mm] sodass [mm] x_1=a_1+b_1\wurzel{2} [/mm] und
[mm] x_2=a_2+b_2\wurzel{2} \in \IQ [/mm]
Für [mm] x_1x_2 [/mm] ergibt sich $ [mm] x_1x_2=(a_1+b_1\wurzel{2})(a_2+b_2\wurzel{2})=(a_1a_2)+(b_1b_2)\wurzel{2})\in [/mm] K $ da $ [mm] a_1a_2\in\IQ [/mm] $ und $ [mm] b_1b_2\in\IQ [/mm] $.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:52 Di 08.11.2005 | | Autor: | Marc |
Hallo nebben,
> Behauptung: K= [mm]\{a+b\wurzel{2} :a,b \in \IQ \}[/mm] ist ein
> Teilkörper von [mm]\IR[/mm]
>
>
> Beweis:
>
>
> 1.) Abgeschlossenheit für das Neutrale Element
>
> a.)für die Addition
> [mm]0+0*\wurzel{2}=0 \in[/mm] K da 0 [mm]\in \IQ[/mm]
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> b.)für die Multitplikation
> [mm]1+1*\wurzel{2}=1+\wurzel{2}[/mm] in K da [mm]1+\wurzel{2}\in \IQ[/mm]
Das kann doch nicht sein.
Was ist denn das neutrale Element der Multiplikation im Oberkörper?
Und selbst wenn du nicht mit dem Oberkörper argumentieren wolltest: Dein neutrales Element [mm] $e:=1+\wurzel{2}$ [/mm] erfüllt ja noch nicht einmal diese Gleichung: $e*e=e$
denn: [mm] $(1+\wurzel{2})*(1+\wurzel{2})=1+2\wurzel{2}+2=3+2\wurzel{2}\not=1+\wurzel{2}$
[/mm]
Da musst du dir noch etwas anderes überlegen 
> 2.) Abgeschlossenheit für die Inversen Elemente
>
> Sei x [mm]\in[/mm] K und x= [mm]a+b\wurzel{2}[/mm]
>
> a.)für die Addition sei -x das Inverse zu x also -x=
> [mm](-a)+(-b)\wurzel{2},[/mm] da
> [mm]x+(-x)=a+b\wurzel{2}+(-a)+(-b)\wurzel{2}=0[/mm]
> b.)für die Mulitplikation sei [mm]x^{-1}[/mm] das Inverse zu x also
> [mm]x^{-1}= a^{-1}+b^{-1}\wurzel{2},[/mm] da [mm]xx^{-1}=(a+b\wurzel{2}) (a^{-1}+b^{-1}\wurzel{2}=1[/mm]
Auch hier sehe ich nichts weiter als reines Wunschdenken, wie kann [mm] $(a+b\wurzel{2}) (a^{-1}+b^{-1}\wurzel{2})=1$ [/mm] gelten?
Die Elemente müssen schon mit der multiplikativen Verknüpfung des Oberkörpers verknüpft werden, und danach würde doch gelten:
[mm] $(a+b\wurzel{2}) (a^{-1}+b^{-1}\wurzel{2})$
[/mm]
[mm] $=a*a^{-1}+a*b^{-1}*\wurzel{2}+a^{-1}*b*\wurzel{2}+b*b^{-1}*2$
[/mm]
[mm] $=1+(a*b^{-1}+a^{-1}*b)*\wurzel{2}+2$
[/mm]
[mm] $=3+(a*b^{-1}+a^{-1}*b)*\wurzel{2}$
[/mm]
und das soll =1 sein, für alle [mm] $a,b\in\IQ$?
[/mm]
> 3.)Abgeschlossenheit
>
> a.)für die Addition sei [mm]x_{1},x_{2} \in[/mm] K dann gibt es
> [mm]a_{1},b_{1},a_{2},b_{2} \in \IQ[/mm] sodass
> [mm]x_1=a_1+b_1\wurzel{2}[/mm] und
> [mm]x_2=a_2+b_2\wurzel{2} \in \IQ[/mm]
>
> Für [mm]x_1+x_2[/mm] ergibt sich
> [mm]x_1+x_2=a_1+b_1\wurzel{2}+a_2+b_2\wurzel{2}=(a_1+a_2)+(b_1+b_2)\wurzel{2})\in K[/mm]
> da [mm]a_1+a_2\in\IQ[/mm] und [mm]b_1+b_2\in\IQ [/mm].
> b.) für die Multiplikation sei [mm]x_{1},x_{2} \in[/mm] K dann gibt
> es [mm]a_{1},b_{1},a_{2},b_{2} \in \IQ[/mm] sodass
> [mm]x_1=a_1+b_1\wurzel{2}[/mm] und
> [mm]x_2=a_2+b_2\wurzel{2} \in \IQ[/mm]
>
> Für [mm]x_1x_2[/mm] ergibt sich
> [mm]x_1x_2=(a_1+b_1\wurzel{2})(a_2+b_2\wurzel{2})=(a_1a_2)+(b_1b_2)\wurzel{2})\in K[/mm]
Hmm, das arme Distributivgesetz, es wird ganz von dir ignoriert
Im allgemeinen gilt [mm] $(a+b)(c+d)\not=ac+bd$, [/mm] sondern $(a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd$
> da [mm]a_1a_2\in\IQ[/mm] und [mm]b_1b_2\in\IQ [/mm].
Viele Grüße,
Marc
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 18:55 Di 14.10.2008 | | Autor: | GrandixX |
ist es aber nicht irgendwie komisch, dass wenn ich a1 und a2 sowie b1 und b2 allein stehen habe einfach so dann dies mit dem teilkörper behaupten kann? da ja dies mit jeder Wurzelzahl multipliziert zutrifft oder verstehe ich irgendwas nicht?
zusätzlich kommt noch: wo ist hier der bezug dass es grad ein teilkörper für R ist?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:23 Di 14.10.2008 | | Autor: | Marc |
Hallo GrandixX,
> ist es aber nicht irgendwie komisch, dass wenn ich a1 und
> a2 sowie b1 und b2 allein stehen habe einfach so dann dies
> mit dem teilkörper behaupten kann? da ja dies mit jeder
> Wurzelzahl multipliziert zutrifft oder verstehe ich
> irgendwas nicht?
Ich verstehe deine Frage nicht, z.B. was meinst du mit a1 a2 b1 b2? Sind das Unterpunkte von der Frage, auf der sich deine Frage bezieht oder sollen das Elemente sein?
> zusätzlich kommt noch: wo ist hier der bezug dass es grad
> ein teilkörper für R ist?
Verstehe ich auch nicht, was du meinst.
Könntest du versuchen, dass nochmal anders bzw. präziser zu formulieren?
Viele Grüße,
Marc
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