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| Aufgabe | Über reelle Zahlen $a, b$ und $c$ werde vorrausgesetzt, dass für alle reellen Zahlen $x$ mit [mm] $|x|\le1$ [/mm] die Ungleichung [mm] $|ax^2+bx+c|\le\bruch{1}{100}$ [/mm] gilt.
Man beweise, dass aus dieser Vorraussetzung stets folgt:
[mm] $|a|+|b|+|c|\le\bruch{1}{25}$. [/mm] |
Hallo Leute,
ich habe schon öffters versucht diese Aufgabe zu lösen, leider vergebens.
Ich wäre für eine Anregung sehr dankbar! (keine volle Lsg. bitte)
Mfg
Ich habe diese Frage in keinem anderem Forum gestellt.
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Hast du deine Voraussetzung man graphisch betrachtet? Das bedeutet daß du ne Parabel hast, deren Betrag unter 1/100 im Intervall [-1;1] liegt.
Ich würde versuchen, das in die Form [mm] $(x-x_0)²+y_0$ [/mm] zu bringen, also jene Form, die dir den Scheitelpunkt zeigt.
Versuche dann mal, ob du für a,b,c irgendwelche Bedingungen herausfinden kannst.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:47 Fr 01.09.2006 | | Autor: | DirkG |
Die Schranke [mm] $\frac{1}{25}$ [/mm] ist nicht scharf, tatsächlich kann man sogar das stärkere $|a|+|b|+|c| [mm] \leq \frac{3}{100}$ [/mm] nachweisen.
Tipp: Betrachte die Funktion [mm] $f(x)=|ax^2+bx+c|$ [/mm] und nutze nur, dass alle drei Funktionswerte f(-1), f(0) und f(1) kleiner oder gleich [mm] $\frac{1}{100}$ [/mm] sind. Ein wenig mit der Dreiecksungleichung für Beträge operiert steht dann das Ergebnis $|a|+|b|+|c| [mm] \leq \frac{3}{100}$ [/mm] da.
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Hallo Dirk,
ich habe eine Weile getüfftelt, aber ich bekomme einfach keinen richtigen Ansatz hin.
Die Dreiecksungleichung gilt auch für drei Variablen, also gilt:
[mm] |a+b+c|\le|a|+|b|+|c|; [/mm] ich vermute, bin aber mit dem Beweis nicht sicher, dass auch [mm] |a-b+c|\le|a|-|b|+|c|; [/mm] gilt.
Mein Problem ist nun in diese theoretischen Sachen die [mm] \bruch{1}{100} [/mm] einzuarebiten, denn ich darf nicht schreiben:
[mm] |a+b+c|\le \bruch{1}{100}\le|a|+|b|+|c|; [/mm]
Vielleicht ist es wirklich total banal, aber ich sehe es nicht, also ich wäre für ein Tip dankbar, wenn er ohne die Lösung gleich zu verraten möglich ist.
Danke
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 10:42 Fr 22.09.2006 | | Autor: | DirkG |
Nach Voraussetzung ist [mm]f(0)=|c|\leq \frac{1}{100}[/mm], [mm]f(1)=|a+b+c|\leq \frac{1}{100}[/mm] und [mm]f(-1)=|a-b+c|\leq \frac{1}{100}[/mm].
Damit gilt nach Dreiecksungleichung:
$$|a+b| = |a+b+c+(-c)| [mm] \leq [/mm] |a+b+c|+|-c| [mm] \leq \frac{2}{100}\\
[/mm]
|a-b| = |a-b+c+(-c)| [mm] \leq [/mm] |a-b+c|+|-c| [mm] \leq \frac{2}{100}$$
[/mm]
Jetzt fehlt nur noch die Erkenntnis [mm]|a|+|b| = \max\{ |a+b|, |a-b| \}[/mm] ... entschuldige, jetzt habe ich am Ende doch fast alles verraten. Ist aber auch schwierig zu vermeiden hier, bei sowenig Gedankengängen bis zur Lösung. 
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