Beweis: Unkorreliertheit < Wahrscheinlichkeitstheorie < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Seien $X [mm] \sim [/mm] Y$, unabhängig, [mm] $EX^{2} [/mm] < [mm] \infty [/mm] $. Zeigen Sie, dass dann $U := X + Y$ und $V := X - Y$ unkorreliert sind. |
Hallo,
die ersten Beweisschritte sehen laut Lösung so aus:
Für beliebige $X, Y$ gilt:
$U, V$ unkorreliert [mm] $\gdw$ [/mm] $0 = Cov(U,V) = Cov(X,X) - Cov(X,Y) + Cov(Y,X) - Cov(Y,Y) = [mm] D^{2}X [/mm] - [mm] D^{2}Y$ [/mm] ...
(E = Erwartungswert, D = Varianz)
Kann mir jemand sagen, wie man darauf kommt?
Danke schonmal.
lg
Kalia
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Hallo!
> Seien [mm]X \sim Y[/mm], unabhängig, [mm]EX^{2} < \infty [/mm]. Zeigen Sie,
> dass dann [mm]U := X + Y[/mm] und [mm]V := X - Y[/mm] unkorreliert sind.
> Hallo,
>
> die ersten Beweisschritte sehen laut Lösung so aus:
>
> Für beliebige [mm]X, Y[/mm] gilt:
> [mm]U, V[/mm] unkorreliert [mm]\gdw[/mm] [mm]0 = Cov(U,V) = Cov(X,X) - Cov(X,Y) + Cov(Y,X) - Cov(Y,Y) = D^{2}X - D^{2}Y[/mm]
> ...
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> (E = Erwartungswert, D = Varianz)
>
> Kann mir jemand sagen, wie man darauf kommt?
> Danke schonmal.
>
Bilinearität. Vielleicht hilft dir ein Zwischenschritt:
[mm] Cov(U,V)=Cov(X+Y,X-Y)=Cov(X,X-Y)+Cov(Y,X-Y)=Cov(X,X)-\overbrace{Cov(X,Y)}^{0}+\overbrace{Cov(Y,X)}^{0}-Cov(Y,Y)=V(X)-V(Y)=0
[/mm]
> lg
> Kalia
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