Beweis Untergruppe < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:13 Mi 04.05.2005 | | Autor: | michael7 |
Hallo zusammen,
folgendes soll gezeigt werden:
Ist $U$ eine Untergruppe von [mm] $(\IZ, [/mm] +)$, so existiert ein [mm] $n\in\IN_{0}$ [/mm] mit [mm] $U=n\IZ$.
[/mm]
Also Hinweise haben wir bekommen:
- Jede nicht leere Teilmenge von [mm] $\IN_{0}$ [/mm] hat ein kleinstes Element.
- Division mit Rest.
Wir hatten nun die Idee, dass man argumentieren koennte
[mm] $\exists a\in [/mm] U: [mm] \forall u\in [/mm] U: |a| < |u|$,
also dass ein betragsmaessig kleinstes Element existiert. Dieses $|a|$ verwendet man als Erzeuger. [mm] $a^n$ [/mm] fuer alle [mm] $n=\{0, \pm 1, \pm 2, \ldots\}$ [/mm] erzeugt dann alle Elemente der Untergruppe bzw. der Linksnebenklasse von [mm] $\IZ$.
[/mm]
Ist der Ansatz ok? Irgendwelche Tipps wie man weitermachen koennte bzw. was man noch beachten muss?
Michael
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:54 Mi 04.05.2005 | | Autor: | Hanno |
Hallo!
> Wir hatten nun die Idee, dass man argumentieren koennte
> $ [mm] \exists a\in [/mm] U: [mm] \forall u\in [/mm] U: |a| < |u| $,
> also dass ein betragsmaessig kleinstes Element existiert. Dieses $ |a| $ verwendet man als Erzeuger.
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> $ [mm] a^n [/mm] $ fuer alle $ [mm] n=\{0, \pm 1, \pm 2, \ldots\} [/mm] $ erzeugt dann alle Elemente der Untergruppe bzw. der Linksnebenklasse von $ [mm] \IZ [/mm] $.
(bloß schreibt man hier nicht [mm] $a^n$ [/mm] sondern [mm] $n\cdot [/mm] a$, man verwendet also die additive Schreibweise)
> Ist der Ansatz ok? Irgendwelche Tipps wie man weitermachen koennte bzw. was man noch beachten muss?
Leicht könnt ihr zeigen, dass [mm] $a\IZ\subseteq [/mm] U$ gilt. Was verbleibt, ist [mm] $U\subseteq a\IZ$. [/mm] Ihr müsst also zeigen, dass die Existenz eines Element [mm] $x\in [/mm] U$ mit [mm] $x\notin a\IZ$ [/mm] im Widerspruch zur Wahl von $a$ steht. Das wiederum ist mit der Division durch Rest zu lösen, wie auch schon in den Tips angedeutet. Es ist ein kleiner Schritt und ihr habt die Aufgabe gelöst.
Den hier verwendeten Trick braucht man häufiger, z.B. beim Beweis dafür, dass manche Ringe Hauptidealringe ist (wie [mm] $(\IZ,+,\cdot [/mm] )$).
Liebe Grüße,
Hanno
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:11 Fr 06.05.2005 | | Autor: | michael7 |
Hallo Hanno,
danke fuer Deine Hilfe! Wir haben es jetzt hinbekommen.
Michael
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