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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:24 Do 03.11.2011 | | Autor: | APinUSA |
Seien [G, [mm]\circ[/mm]] eine Gruppe, G' eine nichtleere Teilmenge von G und [mm]\circ[/mm]´ die auf G´ eingeschränkte Gruppenoperation von G. Bildet dann [G´, [mm]\circ[/mm]´] eine Gruppe, so nennt man [G´,[mm]\circ[/mm]´] (oder auch kurz G´) eine Untergruppe
von [G, [mm]\circ[/mm]]. Unter dem Zentrum Z(G) wird der Komplex aller derjenigen Elemente aus G verstanden, die mit jedem Element von G vertauschbar sind, d.h. es sei Z(G) := { a [mm] \in [/mm] G| [mm] \forall [/mm] b [mm] \in [/mm] G : ab = ba }. Beweisen Sie, dass Z(G) eine Untergruppe von G ist. Was ist Z(G), wenn [G, [mm]\circ[/mm]] abelsch ist?
Hallo,
auch hier tappe ich im dunkeln. Was muss denn eine Untergruppe alles haben? Sie darf nicht leer sein (ist sie ja aber nicht denn es gibt ja ein a,b [mm]\in[/mm]G)? Muss ich dann hier auch beweisen dass Z(G) überhaupt eine Gruppe ist (neutrales Element und inverses Element)? Ergibt sich dann nach beiden Beweisen das Z(G) abgeschlossen ist oder muss ich das extra nachweisen?
Wäre das neutrale Element dann 1? Da es heißt ab (also Produkt)
1[mm]\cdot[/mm]a =a und 1[mm]\cdot[/mm]b =b ?
Vielleicht jemand um diese Zeit noch ein paar gute Vorschläge oder Morgen.
Schönen Abend
Maria
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:47 Do 03.11.2011 | | Autor: | APinUSA |
Hallo ich hab versucht zu beweisen, dass Z(G) eine Untergruppe ist:
geg: Z(G):= [mm] {a\inG/ \forallb \in G:ab=ba }
[/mm]
1) Voraussetzung:
Z(G) [mm]\neq\emptyset[/mm]
2) Menge muß sinnvoll def. sein
[mm] \forall [/mm] a,b [mm] \in [/mm] G gilt a [mm] \circ [/mm] b [mm] \in [/mm] G
[mm] \Rightarrow [/mm] Voraussetzung und Verknüpfung sind bijektiv
Z(G) ={ a : G [mm] \to [/mm] G/ a bijektiv } und Z(G) ={ b :G [mm] \to [/mm] G/ b bijektiv }
Seien a[mm]\circ[/mm] b [mm]\in[/mm] Z(G) d.h a[mm]\circ[/mm]b bijektiv also b[mm]\circ[/mm]a [mm]\in[/mm]Z(G)
3) Nachweis Assoziativgesetz gilt
Seien a, b [mm]\in[/mm]Z(G): dann folgt für alle x[mm]\in[/mm]G: (a[mm]\circ[/mm] [mm] b)\chi[/mm] [/mm] ([mm]\chi[/mm] = vielfaches von Vektoren)
= (a[mm]\circ[/mm] b)[mm]\cdot[/mm] [mm]\vektor{x_{1} \\
x_{n} }[/mm] = [(a[mm]\circ[/mm] b)](x) =[mm]\vektor{(a\cdot b) \cdot x_{1} \\
(a\cdot b )\cdot x_{n}}[/mm] = [mm]\vektor{ a\cdot ( b \cdot x_{1}) \\
a\cdot ( b \cdot x_{n})}[/mm] = a[mm]\vektor{ b \cdot x_{1} \\
b \cdot x_{n}}[/mm] = a (b[mm]\cdot\chi[/mm])
4)Nachweis neutrales Element
[mm]\exists[/mm]! e[mm]\in[/mm]G :[mm]\forall[/mm]a[mm]\in[/mm]G : a[mm]\circ[/mm]e=a a[mm]\circ[/mm]1=a (Produkt)
[mm]\exists[/mm]! e[mm]\in[/mm]G :[mm]\forall[/mm]b[mm]\in[/mm]G : b[mm]\circ[/mm]e=b b[mm]\circ[/mm]1=b (Produkt)
5) Nachweis inverses Element
-> bijektive Abbildung hat stets eine Umkehrabbildung zu jedem a,b[mm]\in[/mm]Z(G) gibt es die Umkehrabbildung [mm]a^-^1[/mm] :G[mm]\to[/mm]G und [mm]b^-^1[/mm] : G[mm]\to[/mm]G
-> da [mm]a^-^1[/mm] bijek. also auch [mm]a^-^1[/mm][mm]\in[/mm]G [mm]\Rightarrow[/mm][mm]a^-^1[/mm] [mm]\circ[/mm]a= [mm]I_{[G]}[/mm]
6) Die Ordnung einer endlichen Gruppe ist die Anzahl ihrer Elemente - diese Gruppe besitzt doch aber keine Einschränkung wie soll die Untergruppe denn dann abgegrenzt sein?
Reicht das für diese Aufgabe und stimmt vielleicht wenigstens etwas davon?
Gruß Maria
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:48 Fr 04.11.2011 | | Autor: | tobit09 |
Hallo Maria,
> 1) Voraussetzung:
>
> Z(G) [mm]\neq\emptyset[/mm]
Das musst du nicht separat zeigen, da es aus der Existenz eines neutralen Elements [mm] $e\in [/mm] Z(G)$ folgt, was du sowieso zeigen musst.
> 2) MengeVerknüpfung muß sinnvoll def. sein
> [mm]\forall[/mm] a,b [mm]\in[/mm] G gilt a [mm]\circ[/mm] b [mm]\in[/mm] G
Du willst zeigen, dass Z(G) eine Gruppe ist, also muss es Z(G) statt G heißen.
> [mm]\Rightarrow[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Voraussetzung und Verknüpfung sind bijektiv
![[verwirrt]](/images/smileys/verwirrt.gif "[verwirrt]") Nein.
> Z(G) =$\{$ a : G [mm]\to[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
G/ a bijektiv $\}$ und Z(G) =$\{$ b :G [mm]\to[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
G/
> b bijektiv $\}$
Nein, die Elemente von $Z(G)$ sind keine Abbildungen $G\to G$, sondern spezielle Elemente von $G$.
> 3) Nachweis Assoziativgesetz gilt
> Seien a, b [mm]\in[/mm]Z(G): dann folgt für alle x[mm]\in[/mm]G: (a[mm]\circ[/mm]
> [mm]b)\chi[/mm][/mm] ([mm]\chi[/mm] = vielfaches von Vektoren)
Welchen Vektorraum betrachtest du auf einmal? In der Aufgabe kommt keiner vor...
> 4)Nachweis neutrales Element
> [mm]\exists[/mm]! e[mm]\in[/mm]G :[mm]\forall[/mm]a[mm]\in[/mm]G : a[mm]\circ[/mm]e=a a[mm]\circ[/mm]1=a
> (Produkt)
>
> [mm]\exists[/mm]! e[mm]\in[/mm]G :[mm]\forall[/mm]b[mm]\in[/mm]G : b[mm]\circ[/mm]e=b b[mm]\circ[/mm]1=b
> (Produkt)
Zu zeigen ist nach der Definition einer Gruppe, wie ich sie kenne, dass ein [mm] $e\in [/mm] Z(G)$ existiert mit [mm] $a\circ e=e\circ [/mm] a=a$ für alle [mm] $a\in [/mm] Z(G)$. Möglicherweise hattet ihr eine andere Definition. Poste sie mal bitte, damit man dazu passend antworten kann.
> 5) Nachweis inverses Elemente
> -> bijektive Abbildung hat stets eine Umkehrabbildung zu
> jedem a,b[mm]\in[/mm]Z(G) gibt es die Umkehrabbildung [mm]a^-^1[/mm] :G[mm]\to[/mm]G
Wenn $a$ und $b$ bijektive Abbildungen [mm] $G\to [/mm] G$ wären. Sind sie aber nicht.
> 6) Die Ordnung einer endlichen Gruppe ist die Anzahl ihrer
> Elemente - diese Gruppe besitzt doch aber keine
> Einschränkung wie soll die Untergruppe denn dann
> abgegrenzt sein?
Genau, Z(G) muss nicht endlich sein. Aber nach einer Gruppenordnung ist doch in der Aufgabenstellung gar nicht gefragt, oder?
Kann es sein, dass du aus anderen Beweisen blind Dinge kopierst? Anhand dieser Aufgabe kann ich mir sonst schwer erklären, wie du auf bijektive Abbildungen oder Vektoren kommst... Die Definition von $Z(G)$ hast du nicht einmal benutzt.
Immerhin sind 2) bis 5) schon die richtigen Punkte, die abzuarbeiten sind.
zu 2):
Zu zeigen ist: [mm] $\forall a,b\in [/mm] Z(G)$ gilt [mm] $a\circ' b\in [/mm] Z(G)$.
(Es gilt [mm] $a\circ' b=a\circ [/mm] b$, da [mm] $\circ'$ [/mm] die Einschränkung von [mm] $\circ$ [/mm] auf $Z(G)$ ist.)
Seien also [mm] $a,b\in [/mm] Z(G)$.
Zu zeigen ist [mm] $a\circ b\in [/mm] Z(G)$.
Wegen [mm] $Z(G)=\{c\in G|\forall d\in G: c\circ d=d\circ c\}$ [/mm] ist also
1. [mm] $a\circ b\in [/mm] G$ und
2. [mm] $(a\circ b)\circ d=d\circ (a\circ [/mm] b)$ für alle [mm] $d\in [/mm] G$
zu zeigen.
zu 1. Dies gilt, weil [mm] $[G,\circ]$ [/mm] eine Gruppe ist.
zu 2. Sei also [mm] $d\in [/mm] G$. Rechne [mm] $(a\circ b)\circ d=d\circ (a\circ [/mm] b)$ nach, indem du [mm] $a\circ d=d\circ [/mm] a$ und [mm] $b\circ d=d\circ [/mm] b$ (gilt, weil [mm] $a,b\in [/mm] Z(G)$) benutzt.
zu 3):
Zu zeigen ist [mm] $(a\circ' b)\circ' c=a\circ'(b\circ'c)$ [/mm] für alle [mm] $a,b,c\in [/mm] Z(G)$.
Seien also [mm] $a,b,c\in [/mm] Z(G)$.
Zu zeigen ist [mm] $(a\circ' b)\circ' c=a\circ'(b\circ'c)$.
[/mm]
Es gilt:
[mm] $(a\circ' b)\circ' c=(a\circ b)\circ [/mm] c$ (da [mm] $\circ'$ [/mm] die Einschränkung von [mm] $\circ$ [/mm] auf Z(G))
[mm] $=a\circ (b\circ [/mm] c)$ (da G eine Gruppe ist)
[mm] $=a\circ'(b\circ'c)$ [/mm] (da [mm] $\circ'$ [/mm] die Einschränkung von [mm] $\circ$ [/mm] auf Z(G)).
Vor Hinweisen zu 4) und 5) warte ich noch eure genaue Definition einer Gruppe ab.
Viele Grüße
Tobias
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:15 Do 03.11.2011 | | Autor: | hippias |
> Hallo,
>
> auch hier tappe ich im dunkeln. Was muss denn eine
> Untergruppe alles haben? Sie darf nicht leer sein (ist sie
> ja aber nicht denn es gibt ja ein a,b [mm]\in[/mm]G)?
Die Frage ist nicht, ob [mm] $G\neq \emptyset$, [/mm] sondern ob [mm] $Z(G)\neq \emptyset$.
[/mm]
> Muss ich dann
> hier auch beweisen dass Z(G) überhaupt eine Gruppe ist
> (neutrales Element und inverses Element)?
Allerdings, und zwar bezueglich der eingeschraenkten Verknuepfung.
> Ergibt sich dann
> nach beiden Beweisen das Z(G) abgeschlossen ist oder muss
> ich das extra nachweisen?
>
Das gehoert dazu, denn aus dem Bisherigen, wenn es denn gezeigt ist, ergibt sich die Abgschlossenhiet noch nicht.
> Wäre das neutrale Element dann 1?
Wenn [mm] $1\in [/mm] Z(G)$ gilt, dann ist das sicher der aussichtsreichste Kandidat.
> Da es heißt ab (also
> Produkt)
>
> 1[mm]\cdot[/mm]a =a und 1[mm]\cdot[/mm]b =b ?
>
> Vielleicht jemand um diese Zeit noch ein paar gute
> Vorschläge oder Morgen.
>
> Schönen Abend
> Maria
>
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:21 Mo 07.11.2011 | | Autor: | APinUSA |
Hallo,
ja ertappt. Das einzig Sinnvolle was mir zu der späten Zeit noch eingefallen ist, ist einfach ein Beweis aus den Hefter zu nehmen und zu übertragen. Hat demanch nichts gebracht.
Also hier mein zweiter Versuch:
geg: Z(G) := { [mm] a\in [/mm] G/ [mm] \forall [/mm] ]b [mm] \in [/mm] G:ab [mm] \cdot [/mm] ba }(oder dann Z(G)?)
da a bijektiv ist ist auch [mm]a^-^1[/mm] bijektiv also auch [mm]a^-^1 \in G [/mm] [mm]a^-^1 \circ a=1 und b^-^1\circb=1[/mm]
3) Die Abgeschlossenheit beweis ich dann mit der Vielfachbildung und der definierten Addition? (Distributivgesetz)?
Gruß Maria
Voraussetzung: (1) Z(G)[mm]\neq\emptyset[/mm],
(2) Menge muss sinnvoll def. sein: [mm]\forall[/mm]a,b[mm]\in[/mm]Z(G) gilt a[mm]\circ[/mm]b[mm]\in[/mm]Z(G)
(3) assoziativ: Seien a,b [mm]\in[/mm]Z(G): dann folgt für alle x[mm]\in[/mm]G: (a[mm]\circ[/mm]b)[mm]\chi[/mm] =(a[mm]\circ[/mm]b)[mm]\cdot\vektor{x _{1}\\
x_{n}}[/mm] = [(a[mm]\circ[/mm]b)](x) = (a(b(x))) = a(x)[mm]\circ[/mm] (b(x)) = ((a(x))b) = (x)([a[mm]\circ[/mm]b])
Nachweis Untergruppe:
1) Es muss ein neutrales Elemen[mm]\exists! e\inG:\forallb\inG: b\circe=b \wedge1\circb=b\circ1=b[/mm] 1=e
2)Nachweis inverses Element
-> eine bijektive Abbildung hat stets eine Umkehrabbildung (nach eurer Antwort bin ich mir jetzt allerdings sehr unsicher, ob das der richtige Ansatz ist)
[mm]^-^1:G\toG, b^-^1:G\toG[/mm]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:11 Mo 07.11.2011 | | Autor: | tobit09 |
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Hallo Maria,
> Also hier mein zweiter Versuch:
Der ist leider kaum leserlich.
> geg: Z(G) := $\{$ [mm]a\in[/mm] G/ [mm]\forall[/mm] ]b [mm]\in[/mm] G:ab [mm]\cdot[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
ba $\}$
Ja.
> (oder
> dann Z(G)?)
> da a bijektiv ist ist auch [mm]a^-^1[/mm] bijektiv also auch [mm]a^-^1 \in G[/mm]
> [mm]a^-^1 \circ a=1 und b^-^1\circb=1[/mm]
Schon wieder was mit bijektiven Abbildungen... Was hat das bitteschön mit der Aufgabe zu tun?
> 3) Die Abgeschlossenheit beweis ich dann mit der
> Vielfachbildung und der definierten Addition?
> (Distributivgesetz)?
Wir haben in dieser nirgendwo eine Addition und nirgendwo eine skalare Multiplikation. Distributivgesetz ist demzufolge völliger Quatsch.
> Voraussetzung: (1) Z(G)[mm]\neq\emptyset[/mm],
Dazu habe ich dir doch schon geschrieben, dass man sich dies sparen kann, wenn man zeigt, dass es in Z(G) ein neutrales Element $e$ gibt. Dann gilt ja [mm] $e\in [/mm] Z(G)$ und somit [mm] $Z(G)\not=\emptyset$.
[/mm]
> (2) Menge muss sinnvoll def. sein: [mm]\forall[/mm]a,b[mm]\in[/mm]Z(G) gilt
> a[mm]\circ[/mm]b[mm]\in[/mm]Z(G)
Die Menge Z(G) ist sinnvoll definiert. Hier geht es darum, dass die VERKNÜPFUNG sinnvoll definiert sein soll. (Habe ich dir auch schon geschrieben.)
> (3) assoziativ: Seien a,b [mm]\in[/mm]Z(G): dann folgt für alle
> x[mm]\in[/mm]G: (a[mm]\circ[/mm]b)[mm]\chi[/mm] =(a[mm]\circ[/mm]b)[mm]\cdot\vektor{x _{1}\\
x_{n}}[/mm]
> = [(a[mm]\circ[/mm]b)](x) = (a(b(x))) = a(x)[mm]\circ[/mm] (b(x)) = ((a(x))b)
> = (x)([a[mm]\circ[/mm]b])
Oh nein, nicht wieder Vektoren...
> Nachweis Untergruppe:
Habt ihr dazu inzwischen ein Untergruppenkriterium kennengelernt, oder nach wie vor nur die Definition von Untergruppe wie in der Aufgabenstellung?
> 1) Es muss ein neutrales Elemen[mm]\exists! e\inG:\forallb\inG: b\circe=b \wedge1\circb=b\circ1=b[/mm]
> 1=e
Kauderwelsch... So sieht die Bedingung mit dem neutralen Element in der Definition einer Gruppe sicherlich nicht aus. Schlag es bitte nach und poste es so, wie es da steht.
> 2)Nachweis inverses Element
>
> -> eine bijektive Abbildung hat stets eine Umkehrabbildung
> (nach eurer Antwort bin ich mir jetzt allerdings sehr
> unsicher, ob das der richtige Ansatz ist)
In der Aufgabe kommen keine bijektiven Abbildungen vor!
> [mm]^-^1:G\toG, b^-^1:G\toG[/mm]
Erneut hast du offenbar die gleichen Teile von Beweisen anderer Aussagen zusammengeschustert. Das kann nicht funktionieren! Ein für alle Mal: In dieser Aufgabe kommen keine Vektoren und keine bijektiven Abbildungen vor!
Hast du meine erste Antwort wenigstens einmal durchgearbeitet? Warum gehst du z.B. mit keiner Silbe auf meinen Ansatz zu 2) aus der vorigen Antwort ein? Hast du etwas daran nicht verstanden? Dann frag doch bitte nach!
Viele Grüße
Tobias
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:48 Di 08.11.2011 | | Autor: | APinUSA |
Hallo Tobias,
ich hab mir deine Antwort durchgelesen und dachte auch dass meine Lösung dazu
passt. Ich werd in der nächsten Vorlesung wohl mal nachfragen.
Direkt zu Untergruppen steht im Hefter nix. Zu Gruppenhabe wir etwas
aufgeschrieben (neutrales Element, inverses Element)
meine Randnotiz sagt noch: das neutrale Element macht Halbgr. zur Gruppe
Danach kommt "Def. für Addition und Vielfachbildung und Assoziativgesetz.
Und dann kommt schon "Vektorraum".
Na ich werd in der nächsten Vorlesung nochmal nachfragen.
Danke für eure Hilfe.
Maria
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