Beweis Wendepunkt F 3.Ordnung < Differenzialrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | | Beweise mathematisch folgende Aussage. Jede ganzrationale Funktion 3.Ordnung hat mindestens einen Wendepunkt und maximal einen Wendepunkt. |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Hi,
Ich soll den Beweis für meinen Lehrer in den nächsten Tagen erbringen. Habe leider keinen richtige Lösungansatz bisher gefunden. Ich hoffe jemand von Euch kann mir helfen. Bin in der Fachoberschule Klasse 12, und sind gerade bei den Kurverdiskusionen der Differnzialrechnung angekommen. Ich würde mich über Eure Hilfe sehr freuen.
Danke
|
|
| |
|
Hallo Analytiker,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") !
Wie lautet denn allgemein eine ganzrationale Funktion 3. Grades?
$f(x) \ = \ [mm] a*x^3+b*x^2+c*x+d$
[/mm]
Und wie ermittelt man nun Wendestellen? Richtig ... Nullstellen der 2. Ableitung. Außerdem muss gelten [mm] $f'''(x_w) [/mm] \ [mm] \not= [/mm] \ 0$ .
Führe diese Berechnung nun mal an der allgemeinen Funktionsgleichung durch. Was erhältst Du für Ergebnisse?
Gruß vom
Roadrunner
|
|
|
| |
|
| Aufgabe | | Beweise mathematisch folgende Aussage. Jede ganzrationale Funktion 3.Ordnung hat mindestens einen Wendepunkt und maximal einen Wendepunkt. |
Hi Roadrunner,
ersteinmal vielen Dank für Deine schnelle Antwort. Das was Du mir geschrieben hast ist soweit klar. Hier meine Ergebnisse:
1.Ableitung: [mm] 3ax^2+2bx+c
[/mm]
2.Ableitung: 6ax+2b
3.Ableitung: 6a
Sorry für mein Unverständnis, aber: Ich will das ja nun allgemein lösen, ohne Zahlen dafür einzusetzen. Ich habe doch nun in der 2 Ableitung 3 unbekannte Variable? Wie gehe ich da weiter vor? Irgendwie sehe ich den Ansatz nicht...? Woher weiß ich denn nun, das es nur max. und min. 1 WP geben kannn? Ich würde mich über Hilfe sehr freuen. Bye
|
|
|
| |
|
Hallo Analytiker!
Die Werte a, b, c und d sind zwar unbekannt, aber als konstant anzusehen.
Daher musst Du bei der Suche nach Nullstellen der 2. Ableitung die Gleichung $6a*x+2b \ = \ 0$ lediglich nach $x \ = \ ...$ umzustellen.
Wieviele Lösungen gibt es hierfür für $x_$ ?
Gruß vom
Roadrunner
|
|
|
| |
|
| Aufgabe | | Beweise mathematisch folgende Aussage. Jede ganzrationale Funktion 3.Ordnung hat mindestens einen Wendepunkt und maximal einen Wendepunkt. |
Hi Roadrunner,
ich danke Dir für deine Hilfe, aber ich bin irgendwie noch nicht weiter gekommen. Es gibt für x laut meiner Ansicht nur eine Lösung:
b
x = -
3·a
Ist das richtig? Aber ich kann damit immer noch nicht viel anfangen. Ich sehe den Kontext zu Aufgabenstellung nicht. Wieso kann es denn nur max. und min. einen WENDEPUNKT geben? Ich versteh das nicht... Ich hoffe Du kannst mir noch einmal weiterhelfen. Schönen Abend...
Bye
|
|
|
| |
|
Hi, Analytiker,
>
> ich danke Dir für deine Hilfe, aber ich bin irgendwie noch
> nicht weiter gekommen. Es gibt für x laut meiner Ansicht
> nur eine Lösung:
> b
> x = -
> 3·a
> Ist das richtig?
Man muss natürlich noch "erwähnen", dass a nicht =0 sein kann - aber wäre a=0, hätten wir ja schon zu Beginn keine Funktion 3. Grades gehabt!
Nun hast Du also EINE (!) Nullstelle der 2. Ableitung.
Diese ist gleichzeitig der EINZIGE Kandidat für eine Wendestelle.
Somit weißt Du nun schon mal: Es gibt HÖCHSTENS eine Wendestelle, nämlich die von Dir berechnete.
Nun fehlt aber noch was, denn NICHT JEDE Nullstelle von f'' ist Wendestelle! Wie beweist Du nun endgültig, dass es eine ist?
(Übrigens ist auch da wieder wichtig, dass a [mm] \not= [/mm] 0 ist!)
mfG!
Zwerglein
|
|
|
| |
|
| Aufgabe | | Beweise mathematisch folgende Aussage. Jede ganzrationale Funktion 3.Ordnung hat mindestens einen Wendepunkt und maximal einen Wendepunkt. |
Hi Zwerglein,
Danke für deine Ausführung.
Ok, ich weiß nun, es gibt höchsten eine Wendestelle. Aber wie du schon bemerkt hast, ist die Frage, ob es wirkliche eine ist, oder ob es sich eventuell um einen Sattelpunkt handelt. Also mein Ansatz dazu:
Als weitere Bedingung zu f''(x)=0 gilt auch noch f'''(x)ungleich0 -> Nur wenn beide Bedingungen erfüllt sind, ist es eine Wendestelle. Ist das richtig so? Liebe Grüße
|
|
|
| |
|
Guten Morgen Analytiker!
> Ok, ich weiß nun, es gibt höchsten eine Wendestelle. Aber
> wie du schon bemerkt hast, ist die Frage, ob es wirkliche
> eine ist, oder ob es sich eventuell um einen Sattelpunkt
> handelt.
![[aufgemerkt]](/images/smileys/aufgemerkt.gif "[aufgemerkt]") Auch ein Sattelpunkt ist ein Wendepunkt! Halt mit der Besonderheit, dass dort eine horizontale Tangente vorliegt ...
> Als weitere Bedingung zu f''(x)=0 gilt auch noch
> f'''(x)ungleich0 -> Nur wenn beide Bedingungen erfüllt
> sind, ist es eine Wendestelle.
Streiche bitte das Wort "nur" ... dann stimmt es! Denn die Bedingung [mm] $f'''(x_w) [/mm] \ [mm] \not= [/mm] \ 0$ ist lediglich ein hinreichendes Kriterium.
In Sonderfällen kann nämlich auch bei $f''(x) = 0 \ [mm] \wedge [/mm] \ f'''(x) = 0$ eine Wendestelle vorliegen (Beispiel: $f(x) \ = \ [mm] x^5$ [/mm] ).
Gruß vom
Roadrunner
|
|
|
|
