Beweis abelsche Gruppe < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:42 So 27.09.2015 | | Autor: | Scherben |
| Aufgabe | Wir betrachten die Menge G = [mm] \IQ\backslash [/mm] {-1} und für x, y [mm] \in [/mm] G die Verknüpfung [mm] x\circy [/mm] := xy + x + y.
Zeigen Sie, dass [mm] (G,\circ) [/mm] eine abelsche Gruppe ist. |
Hallo Zusammen,
ich habe die Aufgabe bis hierhin gelöst (ich hoffe das stimmt soweit), habe aber keine Idee wie ich auf das inverse Element kommen kann. Wenn mir jemand einen Hinweis geben kann, damit ich das herausfinden kann wäre das echt cool :).
Vor.: Sei G= [mm] \IQ\backslash [/mm] {-1} unf für x,y [mm] \in [/mm] G gilt:
[mm] x\circy:=xy+x+y.
[/mm]
Beh.: [mm] (G,\circ) [/mm] ist eine abelsche Gruppe.
Bew.:
(AssotiativG) Seien a,b,c [mm] \in [/mm] G. Dann gilt:
(a [mm] \circ [/mm] b) [mm] \circ [/mm] c
=(ab+a+b) [mm] \circ [/mm] c
=(ab+a+b)*c+(ab+a+b)+c
=abc+ac+bc+ab+a+b+c
=(bc+b+c)*a+bc+a+b+c
=(bc+b+c)*a+(bc+b+c)+a
=a*(bc+b+c)+a+(bc+b+c)
=a [mm] \circ [/mm] (b [mm] \circ [/mm] c)
(neutrales Element)
Sei a [mm] \in [/mm] G. Dann gilt für e=0:
a [mm] \circ [/mm] e = a*e+a+e = a*0+a+0 = 0*a+0+a = e [mm] \circ [/mm] a = a
(Kommutativität)
Seien a,b [mm] \in [/mm] G. Dann gilt:
a [mm] \circ [/mm] b = ab+a+b = ba+b+a = b [mm] \circ [/mm] a.
Vielen Dank schonmal!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:38 So 27.09.2015 | | Autor: | Sax |
Hi,
Um [mm] x^{-1} [/mm] zu bestimmen, löst du die Gleichung x [mm] \circ [/mm] y = e , also xy + x + y = 0 nach y auf.
Außerdem musst du noch nachweisen, dass ...
(Diese Bedingung steht meist ganz am Anfang der Gruppendefinition.)
Gruß Sax.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:43 Mo 28.09.2015 | | Autor: | Scherben |
Ich denke ich habe es hinbekommen.
Am Anfang fehlte noch die Abgeschlossenheit der Verknüpfung auf [mm] \IQ \backslash [/mm] {-1}.
Seien a, b [mm] \in [/mm] G.
Ich nehme an, dass a [mm] \circ [/mm] b = -1 gilt. Es folgt also:
a [mm] \circ [/mm] b = -1
[mm] \gdw [/mm] ab+a+b=-1
[mm] \gdw [/mm] a(1+b)+b = -1
[mm] \gdw [/mm] a(1+b) = -(1+b)
[mm] \gdw [/mm] a = -((1+b)/(1+b))
[mm] \gdw [/mm] a = -1.
a=-1 ist ein Wiederspruch zu a [mm] \in \IQ \backslash [/mm] {-1}.
Die umstellung zu b ist äquvalent.
Das man durch Addition und Multiplikation nicht aus [mm] \IQ [/mm] "rauskommt" kann man hoffentlich als gegeben annehmen.
(Inverses Element)
Sei a [mm] \in [/mm] G, definiere inv(a):=-a/(a+1), dann gilt:
a [mm] \circ [/mm] inv(a)
= a*inv(a)+a+inv(a)
= a*(-a/(a+1))+a -a/(a+1)
= 0 = e.
Ich hoffe jetzt ist alles soweit richtig.
Vielen Dank nochmal für den Denkanstoß! :)
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(Antwort) fertig | | Datum: | 07:07 Di 29.09.2015 | | Autor: | fred97 |
> Ich denke ich habe es hinbekommen.
>
> Am Anfang fehlte noch die Abgeschlossenheit der
> Verknüpfung auf [mm]\IQ \backslash[/mm] {-1}.
>
> Seien a, b [mm]\in[/mm] G.
> Ich nehme an, dass a [mm]\circ[/mm] b = -1 gilt. Es folgt also:
> a [mm]\circ[/mm] b = -1
> [mm]\gdw[/mm] ab+a+b=-1
> [mm]\gdw[/mm] a(1+b)+b = -1
> [mm]\gdw[/mm] a(1+b) = -(1+b)
> [mm]\gdw[/mm] a = -((1+b)/(1+b))
> [mm]\gdw[/mm] a = -1.
> a=-1 ist ein Wiederspruch zu a [mm]\in \IQ \backslash[/mm] {-1}.
> Die umstellung zu b ist äquvalent.
>
> Das man durch Addition und Multiplikation nicht aus [mm]\IQ[/mm]
> "rauskommt" kann man hoffentlich als gegeben annehmen.
>
> (Inverses Element)
> Sei a [mm]\in[/mm] G, definiere inv(a):=-a/(a+1), dann gilt:
> a [mm]\circ[/mm] inv(a)
> = a*inv(a)+a+inv(a)
> = a*(-a/(a+1))+a -a/(a+1)
> = 0 = e.
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> Ich hoffe jetzt ist alles soweit richtig.
Alles O.K.
FRED
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> Vielen Dank nochmal für den Denkanstoß! :)
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