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Forum "Relationen" - Beweis Äquivalenzrelation
Beweis Äquivalenzrelation < Relationen < Diskrete Mathematik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Beweis Äquivalenzrelation: Frage (reagiert)
Status: (Frage) reagiert/warte auf Reaktion Status 
Datum: 19:28 Mo 08.11.2010
Autor: Kate-Mary

Aufgabe
i) Zeige, dass die Relation R [mm] \subset (\IN \times \IN) \times (\IN \times \IN) [/mm]
(a,b) [mm] \sim [/mm] (c,d) [mm] \gdw [/mm] ad = bc eine Äquivalenzrelation ist. (Die Tatsache, dass aus nx = ny für natürliche Zahlen n; x; y bereits x = y folgt, darf ohne Beweis verwendet werden.)

ii) Das Multiplizieren beider Einträge eines Paares mit einer natürlichen Zahl nennt man erweitern. Zeige, dass zwei Paare genau dann äquivalent sind, wenn sie sich auf dasselbe Paar erweitern lassen.
Zeige also: (a,b) [mm] \sim [/mm] (c,d) genau dann, wenn es ein drittes Paar (e,f) [mm] \in \IN [/mm] und n,m [mm] \in \IN [/mm] gibt, so dass (na,nb) = (e,f) = (mc,md).

iii) Seien [mm] \alpha, \beta [/mm] kommensurable Strecken und (a b) ein Teilverhältnis von [mm] \alpha [/mm] und [mm] \beta. [/mm] Begründe, warum (c,d) [mm] \in [/mm] TV ( [mm] \alpha, \beta [/mm] ) genau dann, wenn
(a,b) [mm] \sim [/mm] (c,d) gilt.

Also wenn mir jemand bei der ersten Aufgabe helfen könnte, wär ich sehr dankbar. Den Rest könnte ich dann wahrscheinlich hinbekommen....

Für die Äquivalenzrelation müsste ich ja eigentlich nur die Reflexivität, die Symmetrie und die Transitivität beweisen.
Ich hab bis jetzt folgendes:

i) Symmetrie: (b,a) [mm] \sim [/mm] (d,c) [mm] \gdw [/mm] bc=ad
                [mm] \to [/mm] bc=ad [mm] \gdw [/mm] ad=bc

Für die Teansitivität und die Reflexivität hab ich irgendwie keine Idee....und reicht das obere als Beweis für die Symmetrie??


Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt

        
Bezug
Beweis Äquivalenzrelation: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:00 Mo 08.11.2010
Autor: leduart

Hallo
Schreib bitte erst mal auf was Symmetrie,Transitivität und Reflexivität genau bedeutet. erst danach rechne das einfach aus.
IMMER mit dem Hinschreiben der Axiome anfangen  und was sie für die spezielle Relation fordern. dann ist man mehr als zur Hälfte fertig.
Gruss leduart


Bezug
                
Bezug
Beweis Äquivalenzrelation: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 00:11 Di 09.11.2010
Autor: Kate-Mary

Okay...danke für den Tipp, dass man am Besten immer erst aufschreibt, was die einzelnen Axiome besagen...

Aber ich komm leider immer noch nicht weiter, auch wenn ich das aufschreibe...ich steh irgendwie total auf der Leitung :(

Wir haben die Eigenschaften folgendermaßen definiert (macht aber wahrscheinlich eh jeder gleich...):

Symmetrie: Eine homogene Relation R [mm] \subset [/mm] A [mm] \times [/mm] B heißt symmetrisch [mm] \gdw \forall [/mm] (a,b) [mm] \in [/mm] R ist auch (b,a) [mm] \in [/mm] R.

Reflexivität: Eine homogene Relation R [mm] \subset [/mm] A [mm] \times [/mm] B heißt reflexiv, genau dann, [mm] \forall [/mm] a [mm] \in [/mm] A : (a,a) [mm] \in [/mm] R.

Transitivität: Eine homogene Relation R [mm] \subset [/mm] A [mm] \times [/mm] B heißt transitiv, genau dann, [mm] \forall [/mm] (a,b) [mm] \in [/mm] R und [mm] \forall [/mm] (b,c) [mm] \in [/mm] R : (a,c) [mm] \in [/mm] R.


Bezug
                        
Bezug
Beweis Äquivalenzrelation: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 01:32 Di 09.11.2010
Autor: leduart

Hallo
Du solltest doch die Axiome auf den Fall anwenden!
dein A ist [mm] \IN\times \IN, [/mm] und B=A
dein a=(a,b) dein b (c,d) also

> Okay...danke für den Tipp, dass man am Besten immer erst
> aufschreibt, was die einzelnen Axiome besagen...
>  
> Aber ich komm leider immer noch nicht weiter, auch wenn ich
> das aufschreibe...ich steh irgendwie total auf der Leitung
> :(
>  
> Wir haben die Eigenschaften folgendermaßen definiert
> (macht aber wahrscheinlich eh jeder gleich...):
>  
> Symmetrie: Eine homogene Relation R [mm]\subset[/mm] A [mm]\times[/mm] B
> heißt symmetrisch [mm]\gdw \forall[/mm] (a,b) [mm]\in[/mm] R ist auch (b,a)
> [mm]\in[/mm] R.

also (ab),(cd) aus R dann auch (c,d) (a,b)
d.h. wenn gilt ad=bc  dann auch cb=da
und das gilt für [mm] a,b,c,d\in \IN [/mm] (ich denk ihr hattet das Kommutativgesetz in [mm] \IN? [/mm]

> Reflexivität: Eine homogene Relation R [mm]\subset[/mm] A [mm]\times[/mm] B
> heißt reflexiv, genau dann, [mm]\forall[/mm] a [mm]\in[/mm] A : (a,a) [mm]\in[/mm]
> R.

also für alle (a,b) aus R
gilt (a,b),(a,b) aus R d.h. ....
so weitermachen, dann ist es ganz einfach

> Transitivität: Eine homogene Relation R [mm]\subset[/mm] A [mm]\times[/mm] B
> heißt transitiv, genau dann, [mm]\forall[/mm] (a,b) [mm]\in[/mm] R und
> [mm]\forall[/mm] (b,c) [mm]\in[/mm] R : (a,c) [mm]\in[/mm] R.

übersetzt: (ab),(cd) in R und (cd),(ef) in R dann auch (ab),(ef)
jetzt nachweisen
d.h. du hast das wichtigste vergessen, das auf die vorgegebene Relation angewendet hinzuschreiben, also die klarzumachen, was dein a und b ist und was die Relation sagt.
(zur Vorstellung: wenn du dir (a,b) als Bruch a/b vorstellst ist a/b=c/d genau wenn ad=bc d,h, Brüche sind äquivalent wenn Zähler *Nenner =Zähler*Nenner 1/2=4/8 denn 1*8=2*4)
Gruss leduart



Bezug
                                
Bezug
Beweis Äquivalenzrelation: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 10:33 Di 09.11.2010
Autor: Kate-Mary

DANKE!!!
Wenn ich mir dass so anschaue war das ja wirklich relativ einfach....muss wohl wirklich ziemlich auf'm Schlauch gestanden sein...hab das ganze Wochenende drüber nachgedacht....

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