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| Aufgabe | Sei $A$ eine $(n x n)$-Matrix mit Einträgen in [mm] $\IK$. [/mm] Nehmen Sie an, dass [mm] $\IK^n$ [/mm] eine Basis aus Eigenvektoren [mm] $v_1, [/mm] ..., [mm] v_n$ [/mm] von $A$ besitzt. Zeigen Sie, dass die lineare Differentialgleichung
$u'(t) = A [mm] \cdot [/mm] u(t)$
die allgemeine Lösung
$u(t) = [mm] C_1 \cdot e^{\lambda_1 \cdot t} \cdot v_1 [/mm] + ... + [mm] C_n \cdot e^{\lambda_n \cdot t} \cdot v_n$
[/mm]
besitzt, wobei [mm] $\lambda_1, [/mm] ..., [mm] \lambda_n$ [/mm] die Eigenwerte zu den Eigenvektoren [mm] $v_1, [/mm] ..., [mm] v_n$ [/mm] sind und die [mm] $C_1, [/mm] ..., [mm] C_n$ [/mm] Konstanten in [mm] $\IK$ [/mm] sind, welche erst durch die Anfangsbedingungen bestimmt werden. |
Hallo zusammen,
dass $u'(t)$ eine Lösung von $u(t)$ ist, habe ich durch Umformen gezeigt:
$u'(t)$ abgeleitet aus dem gegebenen $u(t)$:
[mm] $\Rightarrow [/mm] u'(t) = [mm] C_1 \cdot e^{\lambda_1 \cdot t} \lambda_1 \cdot v_1 [/mm] + ... + [mm] C_n \cdot e^{\lambda_n \cdot t} \lambda_n \cdot v_n \underbrace{=}_{Av = \lambda v} C_1 \cdot e^{\lambda_1 \cdot t} [/mm] A [mm] \cdot v_1 [/mm] + ... + [mm] C_n \cdot e^{\lambda_n \cdot t} [/mm] A [mm] \cdot v_n [/mm] = A [mm] \cdot [/mm] ( [mm] C_1 \cdot e^{\lambda_1 \cdot t} \cdot v_1 [/mm] + ... + [mm] C_n \cdot e^{\lambda_n \cdot t} \cdot v_n [/mm] ) = A [mm] \cdot [/mm] u(t)$
Aber warum ist das jetzt die einzige Lösung? (Denn das muss ich ja auch noch argumentieren, um die Aussage zu zeigen.)
Hat es damit zu tun, dass [mm] $\left( e^{\lambda_1 \cdot t} \cdot v_1 + ... + e^{\lambda_n \cdot t} \cdot v_n \right)$ [/mm] ein Fundamentalsystem von Lösungen von $u'(t) = A [mm] \cdot [/mm] u(t)$ über [mm] $\IK$ [/mm] bildet?
Viele Grüße
Patrick
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:12 Mo 03.06.2013 | | Autor: | fred97 |
> Sei [mm]A[/mm] eine [mm](n x n)[/mm]-Matrix mit Einträgen in [mm]\IK[/mm]. Nehmen Sie
> an, dass [mm]\IK^n[/mm] eine Basis aus Eigenvektoren [mm]v_1, ..., v_n[/mm]
> von [mm]A[/mm] besitzt. Zeigen Sie, dass die lineare
> Differentialgleichung
>
> [mm]u'(t) = A \cdot u(t)[/mm]
>
> die allgemeine Lösung
>
> [mm]u(t) = C_1 \cdot e^{\lambda_1 \cdot t} \cdot v_1 + ... + C_n \cdot e^{\lambda_n \cdot t} \cdot v_n[/mm]
>
> besitzt, wobei [mm]\lambda_1, ..., \lambda_n[/mm] die Eigenwerte zu
> den Eigenvektoren [mm]v_1, ..., v_n[/mm] sind und die [mm]C_1, ..., C_n[/mm]
> Konstanten in [mm]\IK[/mm] sind, welche erst durch die
> Anfangsbedingungen bestimmt werden.
>
> Hallo zusammen,
>
> dass [mm]u'(t)[/mm] eine Lösung von [mm]u(t)[/mm] ist,
Du meinst siche r.... " dass u(t) eine Lösung von u'(t)=Au(t) ist ..."
> habe ich durch
> Umformen gezeigt:
>
> [mm]u'(t)[/mm] abgeleitet aus dem gegebenen [mm]u(t)[/mm]:
> [mm]\Rightarrow u'(t) = C_1 \cdot e^{\lambda_1 \cdot t} \lambda_1 \cdot v_1 + ... + C_n \cdot e^{\lambda_n \cdot t} \lambda_n \cdot v_n \underbrace{=}_{Av = \lambda v} C_1 \cdot e^{\lambda_1 \cdot t} A \cdot v_1 + ... + C_n \cdot e^{\lambda_n \cdot t} A \cdot v_n = A \cdot ( C_1 \cdot e^{\lambda_1 \cdot t} \cdot v_1 + ... + C_n \cdot e^{\lambda_n \cdot t} \cdot v_n ) = A \cdot u(t)[/mm]
O.K.
>
> Aber warum ist das jetzt die einzige Lösung?
Hä ? Wir haben
$ u(t) = [mm] C_1 \cdot e^{\lambda_1 \cdot t} \cdot v_1 [/mm] + ... + [mm] C_n \cdot e^{\lambda_n \cdot t} \cdot v_n [/mm] $
Für jede (!) Wahl von [mm] (C_1,...,C_n) [/mm] bekommst Du eine Lösung (das hast Du gezeigt )
Die DGL hat unendlich viele Lösungen !
(Denn das
> muss ich ja auch noch argumentieren, um die Aussage zu
> zeigen.)
Nein. Oben ist von der "allgemeinen Lösung " die Rede.
>
> Hat es damit zu tun, dass [mm]\left( e^{\lambda_1 \cdot t} \cdot v_1 + ... + e^{\lambda_n \cdot t} \cdot v_n \right)[/mm]
> ein Fundamentalsystem von Lösungen von [mm]u'(t) = A \cdot u(t)[/mm]
> über [mm]\IK[/mm] bildet?
Was soll die Summe ?????
Ein Fundamentalsystem besteht aus n linear unabhängigen Lösungen:
[mm] e^{\lambda_1 \cdot t} \cdot v_1 , ... , e^{\lambda_n \cdot t} \cdot v_n[/mm]
FRED
>
> Viele Grüße
> Patrick
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Hallo Fred,
danke für Deine Antwort.
> [mm]u(t) = C_1 \cdot e^{\lambda_1 \cdot t} \cdot v_1 + ... + C_n \cdot e^{\lambda_n \cdot t} \cdot v_n[/mm]
>
> Für jede (!) Wahl von [mm](C_1,...,C_n)[/mm] bekommst Du eine
> Lösung (das hast Du gezeigt )
>
> Die DGL hat unendlich viele Lösungen !
Ja, das stimmt natürlich.
>
>
> (Denn das
> > muss ich ja auch noch argumentieren, um die Aussage zu
> > zeigen.)
>
> Nein. Oben ist von der "allgemeinen Lösung " die Rede.
Aber ich muss doch noch irgendwie zeigen, dass das und nur das die allgemeine Lösung ist, oder? Das meinte ich hier mit "einzige Lösung" (was zugegebenermaßen blöd formuliert gewesen ist).
Was muss ich dafür jetzt noch tun?
> >
> > Hat es damit zu tun, dass [mm]\left( e^{\lambda_1 \cdot t} \cdot v_1 + ... + e^{\lambda_n \cdot t} \cdot v_n \right)[/mm]
> > ein Fundamentalsystem von Lösungen von [mm]u'(t) = A \cdot u(t)[/mm]
> > über [mm]\IK[/mm] bildet?
>
> Was soll die Summe ?????
>
> Ein Fundamentalsystem besteht aus n linear unabhängigen
> Lösungen:
>
> [mm]e^{\lambda_1 \cdot t} \cdot v_1 , ... , e^{\lambda_n \cdot t} \cdot v_n[/mm]
Die Additionszeichen sind natürlich unsinnig – ich habe sie aus Versehen nach dem Copy/Paste nicht entfernt bzw. ersetzt. 
Viele Grüße
Patrick
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:20 Mi 05.06.2013 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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