Beweis aufstellen - Problem < Stetigkeit < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:55 Mo 03.01.2011 | | Autor: | SolRakt |
| Aufgabe | Seien [mm] A_{1},A_{2} \subset \IK_{1} [/mm] abgeschlossen, A = [mm] A_{1} \cup A_{2} [/mm] und f: A [mm] \to \IK_{2} [/mm] stetig
a) Zeigen Sie, dass f stetig ist, falls [mm] f|_{A1}, f|_{A2} [/mm] stetig sind.
b) Gilt a) mit "gleichmäßig stetig" an Stelle "stetig"? |
Hallo,
Ich hoffe, dass mir da jemand helfen kann, weil das nämlich der einzige Beweis der Übung ist, den ich nicht hinbekomme. :(
z.B. kenne ich diese Abkürzung [mm] f|_{A1} [/mm] erst garnicht. Was bedeutet das?
Und kann ich die a so interpretieren wie:
Sind zwei Funktionen stetig, so ist deren Vereinigung auch stetig.
So versteh ich die Aufgabe irgendwie. Ist das völlig falsch und kann mir da jemand helfen? Danke vielmals.
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Hallo!
> Seien [mm]A_{1},A_{2} \subset \IK_{1}[/mm] abgeschlossen, A = [mm]A_{1} \cup A_{2}[/mm]
> und f: A [mm]\to \IK_{2}[/mm] stetig
>
> a) Zeigen Sie, dass f stetig ist, falls [mm]f|_{A1}, f|_{A2}[/mm]
> stetig sind.
>
> b) Gilt a) mit "gleichmäßig stetig" an Stelle "stetig"?
> Hallo,
>
> Ich hoffe, dass mir da jemand helfen kann, weil das
> nämlich der einzige Beweis der Übung ist, den ich nicht
> hinbekomme. :(
>
> z.B. kenne ich diese Abkürzung [mm]f|_{A1}[/mm] erst garnicht. Was
> bedeutet das?
Das bedeutet: Die Funktion f eingeschränkt auf A1. Das heißt: Die durch $g:= [mm] f|_{A1}$ [/mm] definierte Funktion hat die Eigenschaft:
[mm] $g:A1\to\IR, [/mm] g(x) = f(x)$.
Sie ist also nur auf A1 definiert und hat dort dieselben Funktionswerte wie f.
> Und kann ich die a so interpretieren wie:
>
> Sind zwei Funktionen stetig, so ist deren Vereinigung auch
> stetig.
Naja, nicht wirklich. Was soll denn eine Vereinigung von Funktionen sein?
Die a) heißt übersetzt:
Ist eine Funktion auf zwei Mengen stetig, so ist die Funktion auch auf der Vereinigung dieser Mengen stetig.
Es ist ein bisschen komisch, dass in der Voraussetzung der Aufgabe [mm] $f:A\to \IK_2$ [/mm] schon als stetig deklariert wird. Das ist ja in a) noch zu zeigen.
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Nun zum formalen Beweis.
Als erstes: Was bedeutet A1, A2 sind abgeschlossen? Ist dann auch A als Vereinigung von A1 und A2 abgeschlossen?
Weiter: Zwei Richtungen sind zu zeigen, es geht jeweils um Stetigkeit. Was für eine Definition von Stetigkeit hast du gehabt?
Zum Beispiel mit der Folgendefinition von Stetigkeit könnte man so beginnen: Sei [mm] $x\in [/mm] A$ und [mm] $(x_n)\in [/mm] A$ mit [mm] $x_n \to [/mm] x$ [mm] (n\to\infty). [/mm] Zu zeigen ist: [mm] $f(x_n) \to [/mm] f(x)$ [mm] (n\to \infty).
[/mm]
Da $A = A1 [mm] \cup [/mm] A2$, ist [mm] $x\in [/mm] A1$ oder [mm] $x\in [/mm] A2$. ObdA. [mm] $x\in [/mm] A1$.
Nun musst du dir überlegen, woher die Elemente von [mm] $(x_n)$ [/mm] kommen. Kann es sein, dass unendlich viele Elemente sowohl aus A1 als auch aus A2 kommen? (Hinweis: Teilfolgen, Abgeschlossenheit)
Grüße,
Stefan
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:38 Mo 03.01.2011 | | Autor: | SolRakt |
Danke erstmal für deine Antwort.
Bin mir aber nicht sicher, ob ich das jetzt alls hinbekomme.
Zum Abschluss der Menge könnte man hier doch folgendes sagen. Da die Menge abgeschlossen ist, existiert eine Folge, die gegen x konvergiert. Kann man das so sagen? Und die wäre ja in der Vereinigung auch enthalten. So, aber das mit der Folgendefinition versteh ich noch nicht so ganz. also, die definition schon, nur die Anwendung hier nicht. Hoffe sehr, dass jemand mir da helfen kann.
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Hallo!
> Zum Abschluss der Menge könnte man hier doch folgendes
> sagen. Da die Menge abgeschlossen ist, existiert eine
> Folge, die gegen x konvergiert.
Über welche Folgen reden wir gerade?
Meinst du mit dem x das aus dem obigen Beweis?
> Kann man das so sagen?
Das kann man zwar sagen, hat aber leider nichts mit der Definition von abgeschlossen zu tun. Die Definition "A abgeschlossen" lautet:
Jede konvergente Folge aus A (d.h. alle Folgenglieder sind aus A) hat ihren Grenzwert auch in A.
> So, aber
> das mit der Folgendefinition versteh ich noch nicht so
> ganz. also, die definition schon, nur die Anwendung hier
> nicht. Hoffe sehr, dass jemand mir da helfen kann.
Zweierlei:
1. Habt ihr die Folgendefinition gehabt? Also können wir damit arbeiten?
2. Könntest du bitte genauer darauf eingehen, was du an der Anwendung nicht verstehst?
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Weiterer Hinweis zum Beweis (Fotzsetzung von oben):
Es gibt nun zwei Möglichkeiten: Entweder die Folge [mm] (x_n) [/mm] endlich viele Glieder aus A1 bzw. A2, oder die Folge [mm] (x_n) [/mm] hat unendlich viele Glieder aus beiden Mengen.
Im ersten Falle kann man schnell etwas folgern.
Im zweiten Fall muss man nun Teilfolgen bilden / Abgeschlossenheit betrachten...
Grüße,
Stefan
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:54 Mo 03.01.2011 | | Autor: | SolRakt |
> Jede konvergente Folge aus A (d.h. alle Folgenglieder sind aus A) hat ihren Grenzwert auch in A.
Ok, verstehe.
Die Folgendefinition wurde besprochen, also man darf diese verwenden.
Dann muss doch gelten (?)
[mm] x_{n} \to x_{0} \Rightarrow f(x_{n}) \to f(x_{0})
[/mm]
Und da die Menge abgeschlossen ist, weiß man, dass der Grenzwert auch in der Menge liegt. Soweit richtig?
Die Prämisse ist ja klar, aber bei der Konklusion weiß ich nicht genau, wie man das hier anwenden muss. Ich hab ja hier keine spezielle folge gegeben. Vllt denk ich grad aber auch einfach zu kompliziert xD
Hmm..was kann man aber jetzt folgern, wenn die Folge endlich ist. Komm da irgendwie nicht drauf. Kannst du mir vllt sagen, woran man da denken sollte. Direkt die Lösung muss ja nicht sein. Ich würde schon gerne selbst drauf kommen ;) Nur fehlt mir grad der Ansatz und vllt auch das nötige Verständnis
Aber danke für deine Mühe. Wäre echt gut, wenn mir da noch weiterhelfen könntest. Danke.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:41 Di 04.01.2011 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> > Jede konvergente Folge aus A (d.h. alle Folgenglieder sind
> aus A) hat ihren Grenzwert auch in A.
>
> Ok, verstehe.
>
> Die Folgendefinition wurde besprochen, also man darf diese
> verwenden.
>
> Dann muss doch gelten (?)
>
> [mm]x_{n} \to x_{0} \Rightarrow f(x_{n}) \to f(x_{0})[/mm]
jein: Du musst hier genauer zeigen: Ist [mm] $x_0 \in [/mm] A$ beliebig und ist [mm] $(x_n)_n$ [/mm] irgendeine Folge in [mm] $A\,$ [/mm] mit [mm] $x_n \to x_0\,,$ [/mm] so folgt schon [mm] $f(x_n) \to f(x_0)\,.$ [/mm]
> Und da die Menge abgeschlossen ist, weiß man, dass der
> Grenzwert auch in der Menge liegt. Soweit richtig?
Naja, die Abgeschlossenheit geht eigentlich an einer anderen Stelle ein, Du wirst es (hoffentlich) gleich sehen:
Nimm' irgendein [mm] $x_0 \in A_1 \cup A_2$ [/mm] her und eine Folge [mm] $(x_n)_n$ [/mm] aus dieser Vereinigung, die gegen [mm] $x_0$ [/mm] konvergiert. Jetzt mach' halt mal eine Fallunterscheidung (es gibt 3 Fälle, aber beim 3 Fall ist etwas zu beachten!):
1. Fall:
[mm] $x_0$ [/mm] ist Häufungspunkt von [mm] $A_1\,,$ [/mm] aber keiner von [mm] $A_2\,.$
[/mm]
2. Fall:
Analog zum 1. Fall, nur mit Rollentausch von [mm] $A_1$ [/mm] und [mm] $A_2\,.$
[/mm]
Dies sind die beiden "trivialen" Fälle (denn was muss hier für alle bis auf endlich viele Folgenglieder der Folge [mm] $(x_n)_n$ [/mm] gelten, wenn sie denn gegen [mm] $x_0$ [/mm] konvergiert?).
Und jetzt kommt der "interessante Fall":
3. Fall:
[mm] $x_0$ [/mm] sei sowohl Häufungspunkt von [mm] $A_1$ [/mm] als auch von [mm] $A_2\,.$ [/mm]
Hier wird es nun "knifflig":
Du musst Dir nämlich nun überlegen, warum die "Funktionswerte-Folgen" [mm] $(f(x_{n_k}))_k$ [/mm] beliebiger Teilfolgen [mm] $(x_{n_k})_k$ [/mm] von [mm] $(x_n)_n$ [/mm] gegen den gleichen Grenzwert konvergieren und warum dieser mit [mm] $f(x_0)$ [/mm] übereinstimmt. (Beachte dazu: Weil [mm] $f\,$ [/mm] auf [mm] $A=A_1 \cup A_2$ [/mm] definiert ist, darf [mm] $f(x_0)$ [/mm] wegen [mm] $x_0 \in [/mm] A$ nicht mehrdeutig sein (andernfalls wäre [mm] $f\,$ [/mm] keine Funktion). Hier geht irgendwo die Voraussetzung der Abgeschlossenheit der beiden Mengen [mm] $A_j$ [/mm] ein!)
(Wenn Dir das ganze unklar ist, zeige ich Dir, dass man nicht ohne weiteres auf die Abgeschlossenheit verzichten kann:
Betrachte mal [mm] $f(x)=0\,$ [/mm] auf [mm] $A_1=]-\infty,0[$ [/mm] und $f(x)=1$ auf [mm] $A_2=[0,\infty[\,;$ [/mm] hier siehst Du, dass bei obigem Satz die Abgeschlossenheit BEIDER Mengen nicht unentscheidend ist! Denn [mm] $0\,$ [/mm] ist Häufungspunkt von [mm] $A_1$ [/mm] und [mm] $A_2$ [/mm] und [mm] $f\,$ [/mm] ist in [mm] $0\,$ [/mm] offenbar unstetig!)
> Die Prämisse ist ja klar, aber bei der Konklusion weiß
> ich nicht genau, wie man das hier anwenden muss. Ich hab ja
> hier keine spezielle folge gegeben. Vllt denk ich grad aber
> auch einfach zu kompliziert xD
Ich hoffe, dass ich mich nicht gerade zu weit aus dem Fenster lehne, aber ich denke sogar, dass die obige Aussage auch stimmt, wenn man ÜBERALL "stetig" durch "glm. stetig" ersetzt. Denn nur an den Schnittpunkten der Ränder von [mm] $A_1$ [/mm] und [mm] $A_2$ [/mm] kann da etwas schiefgehen, aber dann kann ich zu jedem [mm] $\epsilon [/mm] > 0$ das Minimum entsprechender [mm] $\delta$ [/mm] aus [mm] $A_1$ [/mm] und [mm] $A_2$ [/mm] wählen. Aber das ohne Gewähr, da ich es noch nicht zu Ende gedacht habe.
Gruß,
Marcel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:49 Di 04.01.2011 | | Autor: | SolRakt |
Erstmal ein großes Danke für deine Hilfe.
Ich befürchte nur, dass ich immer noch nicht so viel verstehe. Hmm..also gut. Ich versuchs mal:
Die Fallunterscheidung ist mir klar. Also das man drei Fälle betrachten muss.
Bei den Fällen 1 und 2 bin ich mir nicht ganz sicher, worauf du hinauswillst. Wenn aber eine Folge gegen einen Grenzwert konvergiert (ist ja hier der Fall, da [mm] x_{0} [/mm] Berührpunkt in [mm] A_{1} [/mm] bzw. [mm] A_{2} [/mm] ist), dann handelt es sich dabei um eine Nullfolge und es gilt folgendes:
Zu jedem [mm] \varepsilon [/mm] > 0 ex. ein [mm] n_{0} \in \IN [/mm] mit [mm] |x_{n} [/mm] - [mm] x_{0}| [/mm] < [mm] \varepsilon
[/mm]
Möchtest du darauf hinaus? Verstehe aber nicht, was mir das bringen soll?
Zu Fall 3:
Ich versteh das irgendwie mit der Abgeschlossenheit nicht, befürchte ich. Kannst du mir den Begriff vllt nochmal deutlich machen?
Ich versteh zwar, was du hinter Fall3 stehen hast (also was ich machen soll), aber habe echt keine Ahung, wie man da anfangen soll.
Hoffe, dass du oder jemand anders mir helfen können. Danke vielmals.
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Hallo!
> Die Fallunterscheidung ist mir klar. Also das man drei
> Fälle betrachten muss.
>
> Bei den Fällen 1 und 2 bin ich mir nicht ganz sicher,
> worauf du hinauswillst. Wenn aber eine Folge gegen einen
> Grenzwert konvergiert (ist ja hier der Fall, da [mm]x_{0}[/mm]
> Berührpunkt in [mm]A_{1}[/mm] bzw. [mm]A_{2}[/mm] ist), dann handelt es sich
> dabei um eine Nullfolge
Nein. Nicht jede konvergente Folge muss gegen Null konvergieren!!
> und es gilt folgendes:
>
> Zu jedem [mm]\varepsilon[/mm] > 0 ex. ein [mm]n_{0} \in \IN[/mm] mit [mm]|x_{n}[/mm] -
> [mm]x_{0}|[/mm] < [mm]\varepsilon[/mm]
Das schöne an dem Beweis ist, dass du den [mm] \varepsilon [/mm] - Kram ausnahmsweise mal nicht brauchst.
> Möchtest du darauf hinaus? Verstehe aber nicht, was mir
> das bringen soll?
Im Fall 1 haben wir:
[mm] x_0 [/mm] ist Häufungspunkt von [mm] A_1, [/mm] aber nicht von [mm] A_2.
[/mm]
Wenn [mm] x_0 [/mm] kein Häufungspunkt von [mm] A_2 [/mm] ist, heißt das, dass die Folge [mm] (x_n), [/mm] die gegen [mm] x_0 [/mm] konvergiert, nur endlich viele Folgenglieder aus [mm] A_2 [/mm] hat! (*)
(Gäbe es unendlich viele Folgenglieder von [mm] (x_n) [/mm] in [mm] A_2, [/mm] dann gäbe es eine Teilfolge [mm] (x_{n_k}) [/mm] von [mm] (x_n) [/mm] mit nur Folgengliedern in [mm] A_2. [/mm] Als Teilfolge von [mm] (x_n) [/mm] hätte [mm] (x_{n_k}) [/mm] ebenfalls den Grenzwert [mm] x_0. [/mm] Das heißt wir haben eine Folge aus [mm] A_2 [/mm] gefunden, die gegen [mm] x_0 [/mm] konvergiert, was bedeutet, dass [mm] x_0 [/mm] Häufungspunkt von [mm] A_2 [/mm] ist, Widerspruch.)
Wir wollen nun mit Hilfe der Kenntnis von (*) ausnutzen [..hier fehlt also noch was kleines ..], dass f auf [mm] A_1 [/mm] stetig ist]! Wir wissen also nach Voraussetzung bereits: Ist [mm] (y_n) [/mm] eine gegen [mm] x_0 [/mm] konvergente Folge aus [mm] A_1, [/mm] dann gilt [mm] $f(y_n) \to f(x_0)$.
[/mm]
---> Wieso ist [mm] (x_n) [/mm] "praktisch" eine konvergente Folge aus [mm] A_1 [/mm] ?
> Zu Fall 3:
>
> Ich versteh das irgendwie mit der Abgeschlossenheit nicht,
> befürchte ich. Kannst du mir den Begriff vllt nochmal
> deutlich machen?
Wenn du eine konvergente Folge hast, deren Folgenglieder aus einer "abgeschlossenen" Menge stammen, dann ist auch der Grenzwert der Folge in dieser abgeschlossenen Menge.
Zum Beispiel ist das Intervall (0,1) nicht abgeschlossen, denn die Folge [mm] $x_n [/mm] = [mm] \frac{1}{n}$ [/mm] hat alle Folgenglieder aus (0,1), aber der Grenzwert 0 der Folge [mm] (x_n) [/mm] liegt nicht in (0,1).
Die 0 oben "grenzt zwar direkt" an (0,1) an, ist aber nicht Element der Menge. Direkt an die Menge "angrenzende" Zahlen müssen also in der Menge enthalten sein, damit sie abgeschlossen sein kann.
> Ich versteh zwar, was du hinter Fall3 stehen hast (also was
> ich machen soll), aber habe echt keine Ahung, wie man da
> anfangen soll.
Ich merke gerade, dass ich ein Problem mit Marcels Fallunterscheidung habe, weil ich der Meinung bin, dass die Kenntnis " [mm] x_0 [/mm] ist HP von [mm] A_1 [/mm] und [mm] A_2 [/mm] " nicht viel für die Auswertung einer speziellen Folge bringt.
Ich würde deswegen nochmal gern die Fallunterscheidung von mir rekapitulieren: Für eine Folge [mm] (x_n) \to x_0 [/mm] (Ist konsistent mit dem, was ich oben zu Fall 1 geschrieben habe, du musst nur den Teil mit dem Häufungspunkten weglassen)
Fall 1: Nur endlich viele Folgenglieder von [mm] (x_n) [/mm] liegen in [mm] A_2
[/mm]
Fall 2: Nur endlich viele Folgenglieder von [mm] (x_n) [/mm] liegen in [mm] A_1
[/mm]
Fall 3: Sowohl in [mm] A_1 [/mm] als auch in [mm] A_2 [/mm] liegen unendlich viele Folgenglieder.
Hier ein Lückentext:
Da sowohl in [mm] A_1 [/mm] als auch in [mm] A_2 [/mm] unendlich viele Folgenglieder liegen, lässt sich [mm] (x_n) [/mm] aufteilen in zwei ..... [mm] (x_{n_k}), (x_{m_k}), [/mm] wobei eine .... vollständig in [mm] A_1 [/mm] liegt und eine .... alle Folgenglieder aus [mm] A_2 [/mm] hat.
Als Teilfolgen von [mm] (x_n) [/mm] sind [mm] (x_{n_k}) [/mm] und [mm] (x_{m_{k}}) [/mm] ebenfalls .... gegen .... .
Da [mm] A_1 [/mm] und [mm] A_2 [/mm] abgeschlossen sind, bedeutet das, dass [mm] x_0 [/mm] als Grenzwert der Folge [mm] (x_{n_k}) [/mm] (alle Folgenglieder aus [mm] A_1) [/mm] auch in ...... liegt.
Genauso mit [mm] A_2 [/mm] ......................
Da [mm] f|_{A1} [/mm] und [mm] f|_{A2} [/mm] stetig sind, folgt wegen [mm] $x_{n_k} \to x_0$ [/mm] (Folge vollständig aus A1) und [mm] $x_{m_k} \to x_0$ [/mm] (Folge vollständig aus A2) die Konvergenz [mm] $f(x_{n_k}) \to [/mm] ....$ und [mm] $f(x_{m_k}) \to [/mm] .... $.
Da [mm] $(f(x_n))$ [/mm] aus den beiden Teilfolgen [mm] $(f(x_{n_k}))$ [/mm] und [mm] (f(x_{m_k})) [/mm] zusammengesetzt ist, folgt .................
Grüße,
Stefan
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 00:44 Mi 05.01.2011 | | Autor: | Marcel |
Hallo Stefan,
> Hallo!
>
>
> > Die Fallunterscheidung ist mir klar. Also das man drei
> > Fälle betrachten muss.
> >
> > Bei den Fällen 1 und 2 bin ich mir nicht ganz sicher,
> > worauf du hinauswillst. Wenn aber eine Folge gegen einen
> > Grenzwert konvergiert (ist ja hier der Fall, da [mm]x_{0}[/mm]
> > Berührpunkt in [mm]A_{1}[/mm] bzw. [mm]A_{2}[/mm] ist), dann handelt es sich
> > dabei um eine Nullfolge
>
> Nein. Nicht jede konvergente Folge muss gegen Null
> konvergieren!!
>
> > und es gilt folgendes:
> >
> > Zu jedem [mm]\varepsilon[/mm] > 0 ex. ein [mm]n_{0} \in \IN[/mm] mit [mm]|x_{n}[/mm] -
> > [mm]x_{0}|[/mm] < [mm]\varepsilon[/mm]
>
> Das schöne an dem Beweis ist, dass du den [mm]\varepsilon[/mm] -
> Kram ausnahmsweise mal nicht brauchst.
>
> > Möchtest du darauf hinaus? Verstehe aber nicht, was mir
> > das bringen soll?
>
> Im Fall 1 haben wir:
> [mm]x_0[/mm] ist Häufungspunkt von [mm]A_1,[/mm] aber nicht von [mm]A_2.[/mm]
>
> Wenn [mm]x_0[/mm] kein Häufungspunkt von [mm]A_2[/mm] ist, heißt das, dass
> die Folge [mm](x_n),[/mm] die gegen [mm]x_0[/mm] konvergiert, nur endlich
> viele Folgenglieder aus [mm]A_2[/mm] hat! (*)
> (Gäbe es unendlich viele Folgenglieder von [mm](x_n)[/mm] in [mm]A_2,[/mm]
> dann gäbe es eine Teilfolge [mm](x_{n_k})[/mm] von [mm](x_n)[/mm] mit nur
> Folgengliedern in [mm]A_2.[/mm] Als Teilfolge von [mm](x_n)[/mm] hätte
> [mm](x_{n_k})[/mm] ebenfalls den Grenzwert [mm]x_0.[/mm] Das heißt wir haben
> eine Folge aus [mm]A_2[/mm] gefunden, die gegen [mm]x_0[/mm] konvergiert, was
> bedeutet, dass [mm]x_0[/mm] Häufungspunkt von [mm]A_2[/mm] ist,
> Widerspruch.)
>
> Wir wollen nun mit Hilfe der Kenntnis von (*) ausnutzen
> [..hier fehlt also noch was kleines ..], dass f auf [mm]A_1[/mm]
> stetig ist]! Wir wissen also nach Voraussetzung bereits:
> Ist [mm](y_n)[/mm] eine gegen [mm]x_0[/mm] konvergente Folge aus [mm]A_1,[/mm] dann
> gilt [mm]f(y_n) \to f(x_0)[/mm].
>
> ---> Wieso ist [mm](x_n)[/mm] "praktisch" eine konvergente Folge aus
> [mm]A_1[/mm] ?
>
> > Zu Fall 3:
> >
> > Ich versteh das irgendwie mit der Abgeschlossenheit nicht,
> > befürchte ich. Kannst du mir den Begriff vllt nochmal
> > deutlich machen?
>
> Wenn du eine konvergente Folge hast, deren Folgenglieder
> aus einer "abgeschlossenen" Menge stammen, dann ist auch
> der Grenzwert der Folge in dieser abgeschlossenen Menge.
> Zum Beispiel ist das Intervall (0,1) nicht abgeschlossen,
> denn die Folge [mm]x_n = \frac{1}{n}[/mm] hat alle Folgenglieder aus
> (0,1), aber der Grenzwert 0 der Folge [mm](x_n)[/mm] liegt nicht in
> (0,1).
> Die 0 oben "grenzt zwar direkt" an (0,1) an, ist aber
> nicht Element der Menge. Direkt an die Menge "angrenzende"
> Zahlen müssen also in der Menge enthalten sein, damit sie
> abgeschlossen sein kann.
>
>
> > Ich versteh zwar, was du hinter Fall3 stehen hast (also was
> > ich machen soll), aber habe echt keine Ahung, wie man da
> > anfangen soll.
>
> Ich merke gerade, dass ich ein Problem mit Marcels
> Fallunterscheidung habe, weil ich der Meinung bin, dass die
> Kenntnis " [mm]x_0[/mm] ist HP von [mm]A_1[/mm] und [mm]A_2[/mm] " nicht viel für die
> Auswertung einer speziellen Folge bringt.
erstmal: SolRakt meinte sicher, dass [mm] $(|x_n-x_0|)_n$ [/mm] Nullfolge ist, wenn [mm] $(x_n)_n$ [/mm] gegen [mm] $x_0$ [/mm] strebt.
Dann zu meiner Fallunterscheidung:
Wieso glaubst Du, dass das nichts bringt? Gelte [mm] $(x_n)_n$ [/mm] gegen [mm] $x_0$ [/mm] und hier sei [mm] $x_0$ [/mm] sowohl Häufungspunkt von [mm] $A_1$ [/mm] als auch von [mm] $A_2\,.$ [/mm] Interessant wird hier nur der Fall, was ist, wenn unendlich viele Folgenglieder von [mm] $(x_n)_n$ [/mm] in [mm] $A_1$ [/mm] und auch unendlich viele Folgenglieder von [mm] $(x_n)_n$ [/mm] in [mm] $A_2$ [/mm] liegen - denn andernfalls kann man so wie schon getan argumentieren.
Es ist zu zeigen, dass dann die Folge der Funktionswerte der Folgenglieder gegen [mm] $f(x_0)$ [/mm] konvergiert. Weil aber [mm] $x_n \to x_0\,,$ [/mm] konvergiert auch jede Teilfolge von [mm] $(x_n)_n$ [/mm] gegen [mm] $x_0\,.$ [/mm] Insbesondere:
Ist [mm] $(x_{n_k})_k$ [/mm] eine Teilfolge von [mm] $(x_n)_n$ [/mm] so, dass alle Folgenglieder der Teilfolge in [mm] $A_1$ [/mm] liegen, so konvergiert diese Teilfolge gegen [mm] $x_0\,.$ [/mm] Wegen der Abgeschlossenheit von [mm] $A_1$ [/mm] ist dann [mm] $x_0 \in A_1\,.$ [/mm] Wegen der Stetigkeit von [mm] $f\,$ [/mm] auf [mm] $A_1$ [/mm] und [mm] $x_0 \in A_1$ [/mm] gilt daher auch [mm] $f(x_{n_k}) \to f(x_0)\,.$
[/mm]
Jetzt kann oben aber genauso mit [mm] $A_2$ [/mm] statt [mm] $A_1$ [/mm] argumentieren. Folglich gilt wegen der Abgeschlossenheit von [mm] $A_2$ [/mm] dann insgesamt
[mm] $$x_0 \in A_1 \cap A_2\,,$$
[/mm]
und wir haben gesehen bzw. können aus obigem folgern:
Ist [mm] $(x_n)_n$ [/mm] irgendeine Folge aus [mm] $A\,,$ [/mm] die gegen [mm] $x_0\,,$ [/mm] der gemeinsamer HP von [mm] $A_1$ [/mm] und [mm] $A_2$ [/mm] ist, konvergiert, so folgt, dass für jede Teilfolge [mm] $(x_{n_k})_k$ [/mm] von [mm] $(x_n)_n$ [/mm] dann [mm] $f(x_{n_k}) \to f(x_0)$ [/mm] ($k [mm] \to \infty$) [/mm] gilt, und damit wiederum folgt [mm] $f(x_n) \to f(x_0)\,.$
[/mm]
Baut man den Beweis ein wenig anders auf, zum Beispiel mit einem Widerspruchsbeweis, so kann man das ganze auch so konstruieren, dass man den Widerspruch erhält, dass [mm] $f(x_0)$ [/mm] nicht eindeutig bestimmt ist. Die Grundidee dabei ist aber die gleiche wie oben.
P.S.:
Der eigentliche Knackpunkt oben ist, dass, wenn ein Element HP zweier abgeschlossener Mengen ist, dann auch in deren Schnitt liegt. Man verwechsle das aber nicht mit der Tatsache, das sich abgeschlossene Mengen auch unendlich nahe kommen können, obwohl sie disjunkt sind. (Man betrachte etwa die abgeschlossenen Mengen des [mm] $\IR^2$: $A_1=$Menge [/mm] oberhalb das Graphen von $f(x)=1/x$ auf $x [mm] \ge [/mm] 1$ inklusive des Graphen; [mm] $A_2$: [/mm] die Menge [mm] $A_1\,$ [/mm] an der [mm] $x-\,$Achse [/mm] gespiegelt!)
Gruß,
Marcel
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 12:35 Mo 10.01.2011 | | Autor: | SolRakt |
> Das schöne an dem Beweis ist, dass du den $ [mm] \varepsilon [/mm] $ - Kram >ausnahmsweise mal nicht brauchst
Naja, kommt drauf an, wie mans sieht. xD Ich komme mit den [mm] \varepsilon [/mm] - Kram meist besser zurecht.
> (Gäbe es unendlich viele Folgenglieder von $ [mm] (x_n) [/mm] $ in $ [mm] A_2, [/mm] $ dann
> gäbe es eine Teilfolge $ [mm] (x_{n_k}) [/mm] $ von $ [mm] (x_n) [/mm] $ mit nur
> Folgenglieder in $ [mm] A_2. [/mm] $ Als Teilfolge von $ [mm] (x_n) [/mm] $ hätte $ [mm] (x_{n_k}) [/mm] $ > ebenfalls den Grenzwert $ [mm] x_0. [/mm] $ Das heißt wir haben eine Folge aus $ > [mm] A_2 [/mm] $ gefunden, die gegen $ [mm] x_0 [/mm] $ konvergiert, was bedeutet, dass $
> [mm] x_0 [/mm] $ Häufungspunkt von $ [mm] A_2 [/mm] $ ist, Widerspruch.)
Sry, aber den Beweis kapier ich irgendwie nicht. Habs mir den jetzt mehrmals angeschaut, leider vergeblich :(
> Wenn $ [mm] x_0 [/mm] $ kein Häufungspunkt von $ [mm] A_2 [/mm] $ ist, heißt das, dass die >Folge $ [mm] (x_n), [/mm] $ die gegen $ [mm] x_0 [/mm] $ konvergiert, nur endlich viele >Folgenglieder aus $ [mm] A_2 [/mm] $ hat! (*)
> Wir wollen nun mit Hilfe der Kenntnis von (*) ausnutzen [..hier fehlt also >noch was kleines ..], dass f auf $ [mm] A_1 [/mm] $ stetig ist]! Wir wissen also nach >Voraussetzung bereits: Ist $ [mm] (y_n) [/mm] $ eine gegen $ [mm] x_0 [/mm] $ konvergente >Folge aus $ [mm] A_1, [/mm] $ dann gilt $ [mm] f(y_n) \to f(x_0) [/mm] $.
Hmm..was soll denn da fehlen? Sry ist blöd gefragt, aber finde keinen Ansatz.
> Wieso ist $ [mm] (x_n) [/mm] $ "praktisch" eine konvergente Folge aus $ [mm] A_1 [/mm] $ ?
Hier verstehe ich noch nichtmal, was du meinst. xD
$
> Wenn du eine konvergente Folge hast, deren Folgenglieder aus einer
> "abgeschlossenen" Menge stammen, dann ist auch der Grenzwert der >Folge in dieser abgeschlossenen Menge.
>Zum Beispiel ist das Intervall (0,1) nicht abgeschlossen, denn die Folge $ [mm] >x_n [/mm] = [mm] \frac{1}{n} [/mm] $ hat alle Folgenglieder aus (0,1), aber der Grenzwert >0 der Folge $ [mm] (x_n) [/mm] $ liegt nicht in (0,1).
>Die 0 oben "grenzt zwar direkt" an (0,1) an, ist aber nicht Element der >Menge. Direkt an die Menge "angrenzende" Zahlen müssen also in der >Menge enthalten sein, damit sie abgeschlossen sein kann.$
Danke. :) Das versteh ich jetzt.
Da sowohl in $ [mm] A_1 [/mm] $ als auch in $ [mm] A_2 [/mm] $ unendlich viele Folgenglieder liegen, lässt sich $ [mm] (x_n) [/mm] $ aufteilen in zwei Teilfolgen $ [mm] (x_{n_k}), (x_{m_k}), [/mm] $ wobei eine TF vollständig in $ [mm] A_1 [/mm] $ liegt und eine TF alle Folgenglieder aus $ [mm] A_2 [/mm] $ hat.
Als Teilfolgen von $ [mm] (x_n) [/mm] $ sind $ [mm] (x_{n_k}) [/mm] $ und $ [mm] (x_{m_{k}}) [/mm] $ ebenfalls konvergent gegen den Grenzwert von $ [mm] (x_n) [/mm] $ .
Da $ [mm] A_1 [/mm] $ und $ [mm] A_2 [/mm] $ abgeschlossen sind, bedeutet das, dass $ [mm] x_0 [/mm] $ als Grenzwert der Folge $ [mm] (x_{n_k}) [/mm] $ (alle Folgenglieder aus $ [mm] A_1) [/mm] $ auch in $ [mm] A_1) [/mm] $ liegt.
Genauso mit $ [mm] A_2 [/mm] $ ...................... (ok, genau das gleiche)
Da $ [mm] f|_{A1} [/mm] $ und $ [mm] f|_{A2} [/mm] $ stetig sind, folgt wegen $ [mm] x_{n_k} \to x_0 [/mm] $ (Folge vollständig aus A1) und $ [mm] x_{m_k} \to x_0 [/mm] $ (Folge vollständig aus A2) die Konvergenz $ [mm] f(x_{n_k}) \to f(x_{0}) [/mm] $ und $ [mm] f(x_{m_k}) \to f(x_{0})$.
[/mm]
Da $ [mm] (f(x_n)) [/mm] $ aus den beiden Teilfolgen $ [mm] (f(x_{n_k})) [/mm] $ und $ [mm] (f(x_{m_k})) [/mm] $ zusammengesetzt ist, folgt $ [mm] f(x_{n}) \to f(x_{0}) [/mm] $
So? Wenn ja, dann versteh ich das sogar xD Aber die anderen beiden Fälle, also 1 und 2(2 wäre ja analog zu 1) versteh ich noch nicht so wirklich.
Danke vielmals für Hilfe.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:20 Mi 12.01.2011 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:11 Do 13.01.2011 | | Autor: | SolRakt |
Kann mir wirklich niemand helfen bzw. sagen ob meins stimmt?
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(Frage) überfällig | | Datum: | 13:09 Do 13.01.2011 | | Autor: | gfm |
Frage:
Wenn man [mm] A_1 [/mm] und [mm] A_2 [/mm] mit der Spurtopologie versieht, kann man dann nicht zeigen, dass die Urbilder bezüglich f von offenen Mengen als Vereinigung von Urbildern von offenen Mengen bezüglich [mm] f|_{A_1} [/mm] und [mm] f|_{A_2} [/mm] geschrieben werden können?
LG
gfm
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:20 Sa 15.01.2011 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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