Beweis der Ganzzahligkeit < Induktion < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:36 So 28.10.2012 | | Autor: | Arkathor |
| Aufgabe | Zeigen Sie mittels vollständiger Induktion:
Für alle [mm] n\in\IN [/mm] ist [mm] \bruch{2n}{3}+\bruch{n^{2}}{4}-\bruch{n^{3}}{6}+\bruch{n^{2}}{4} [/mm] eine ganze Zahl. |
Hallo
Ich habe folgende Probleme mit der oberen Aufgabe:
-ich habe bis jetzt keine Defininion von Ganzen Zahlen gefunden die ich irgendwie benutzen konnte (zumindest nicht als Term, ich vermute es würde etwas mit modulo rechnung sein)
-bei mir kommt bei dem Indunktionsanfang keine Ganze Zahl raus:
[mm] n_{0}=1
[/mm]
[mm] \bruch{2}{3}+\bruch{1}{4}-\bruch{1}{6}+\bruch{1}{4}
[/mm]
Wenn ich das, durch den Rechner jage da bekomme ich definitiv keine Ganze Zahl (irgendwas mit 4 periode am Ende)
Ich habe's trotzdem versucht ein Induktionsschluß durchzuführen:
[mm] \bruch{2(n+1)}{3}+\bruch{(n+1)^{2}}{4}-\bruch{(n+1)^{3}}{6}+\bruch{(n+1)^{2}}{4}=\bruch{2n+2}{3}+\bruch{n^2+2n+2}{4}-\bruch{n^3+3n^2+3n+1}{6}+\bruch{n^2+2n+2}{4}=\bruch{8n+8+3n^2+6n+3-2n^3-6n^2-6n-2+3n^2+6n+3}{12}=
[/mm]
[mm] \bruch{-2n^3+14n+12}{12}=-\bruch{2^3-7n-6}{6}
[/mm]
Und ich komme nicht weiter. Konnte jemand vieleicht einen Tipp geben und Fehler korrigieren (wenn ich rgendwelche gemacht habe).
P.S. Eine schönheitsfrage. Wenn ich mit der Rechnung in neue Zeile muss, schreibe ich dann '=' Zeichen am Ende der letzter Zeile oder am Anfang neuer?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:07 So 28.10.2012 | | Autor: | abakus |
> Zeigen Sie mittels vollständiger Induktion:
> Für alle [mm]n\in\IN[/mm] ist
> [mm]\bruch{2n}{3}+\bruch{n^{2}}{4}-\bruch{n^{3}}{6}+\bruch{n^{2}}{4}[/mm]
> eine ganze Zahl.
> Hallo
> Ich habe folgende Probleme mit der oberen Aufgabe:
> -ich habe bis jetzt keine Defininion von Ganzen Zahlen
> gefunden die ich irgendwie benutzen konnte (zumindest nicht
> als Term, ich vermute es würde etwas mit modulo rechnung
> sein)
> -bei mir kommt bei dem Indunktionsanfang keine Ganze Zahl
> raus:
> [mm]n_{0}=1[/mm]
> [mm]\bruch{2}{3}+\bruch{1}{4}-\bruch{1}{6}+\bruch{1}{4}[/mm]
> Wenn ich das, durch den Rechner jage da bekomme ich
> definitiv keine Ganze Zahl (irgendwas mit 4 periode am
> Ende)
Autsch. Dann jage es mal nicht durch den Rechner und verwende die Regeln der Bruchrechnung (Niveau Klasse 6). Tipp: Der Hauptnenner ist 12. Das Ergebnis lautet 1.
> Ich habe's trotzdem versucht ein Induktionsschluß
> durchzuführen:
>
> [mm]\bruch{2(n+1)}{3}+\bruch{(n+1)^{2}}{4}-\bruch{(n+1)^{3}}{6}+\bruch{(n+1)^{2}}{4}=\bruch{2n+2}{3}+\bruch{n^2+2n+2}{4}-\bruch{n^3+3n^2+3n+1}{6}+\bruch{n^2+2n+2}{4}=\bruch{8n+8+3n^2+6n+3-2n^3-6n^2-6n-2+3n^2+6n+3}{12}=[/mm]
> [mm]\bruch{-2n^3+14n+12}{12}=-\bruch{2^3-7n-6}{6}[/mm]
Bei [mm](n+1)^2[/mm] musst du noch einmal nachrechnen.
Das vorschnelle Zusammenfassen von Termen bringt dir für einen Induktionsbeweis nichts. Die Kunst besteht ja gerade darin, die Änderung des neuen Werte (für n+1) gegenüber dem alten Wert (für n) herauszuarbeiten. Du erhältst
[mm]\bruch{2n}{3}+\red{\bruch{1}{3}}[/mm]+[mm]\bruch{n^2}{4}+\red{\bruch{2n+1}{4}}[/mm]-([mm]\bruch{n^3}{6}[/mm]+[mm]\red{\bruch{3n^2+3n+1}{6}}[/mm])+[mm]\bruch{n^2}{4}+\red{\bruch{2n+1}{4}}[/mm].
Der schwarze unrsprüngliche Teil ist nach Ind.-Voraussetzung ganzzahlig, zeige nun, dass das (rot) hinzugekommene ebenfalls ganzzahlig ist.
Gruß Abakus
> Und ich komme nicht weiter. Konnte jemand vieleicht einen
> Tipp geben und Fehler korrigieren (wenn ich rgendwelche
> gemacht habe).
>
> P.S. Eine schönheitsfrage. Wenn ich mit der Rechnung in
> neue Zeile muss, schreibe ich dann '=' Zeichen am Ende der
> letzter Zeile oder am Anfang neuer?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:06 So 28.10.2012 | | Autor: | Arkathor |
Hallo, danke für Fehlerkorrektur (Es hat tatsächlich mit [mm] n_{0}=1 [/mm] funktioniert und das mit dem Quadrat war auch ein Rechtschreibfehler) und den Hinweis. Ich habe's jetzt geschaft so etwas zu machen:
Vermutung:
Für alle [mm] n\in\IN [/mm] ist [mm] \bruch{2n}{3}+\bruch{n^2}{4}-\bruch{n^3}{6}+\bruch{n^2}{4}
[/mm]
Induktionsanfang:
[mm] n_{0}=1
[/mm]
[mm] \bruch{2}{3}+\bruch{1^2}{4}-\bruch{1^3}{6}+\bruch{1^2}{4}
[/mm]
[mm] \bruch{8}{12}+\bruch{3}{12}-\bruch{2}{12}+\bruch{3}{12}=1
[/mm]
[mm] 1\in\IZ
[/mm]
Induktionsvoraussetzung:
[mm] \bruch{2n}{3}+\bruch{n^2}{4}-\bruch{n^3}{6}+\bruch{n^2}{4}\in\IZ
[/mm]
Induktionsbehauptung:
[mm] \bruch{2(n+1)}{3}+\bruch{(n+1)^2}{4}-\bruch{(n+1)^3}{6}+\bruch{(n+1)^2}{4}\in\IZ
[/mm]
Induktionsschluß:
[mm] \bruch{2(n+1)}{3}+\bruch{(n+1)^2}{4}-\bruch{(n+1)^3}{6}+\bruch{(n+1)^2}{4}=\bruch{2n+2}{3}+\bruch{n^2+2n+1}{4}-\bruch{n^3+3n^2+3n+1}{6}+\bruch{n^2+2n+1}{4}
[/mm]
[mm] =\bruch{2n}{3}+\bruch{2}{3}+\bruch{n^2}{4}+\bruch{2n+1}{4}-\bruch{n^3}{6}-\bruch{3n^2+3n+1}{6}+\bruch{n^2}{4}+\bruch{2n+1}{4}
[/mm]
[mm] \underbrace{=\bruch{2n}{3}+\bruch{n^2}{4}-\bruch{n^3}{6}+\bruch{n^2}{4}}_{ist nach der Voraussetzung ganzzahlig}+ \bruch{2}{3}+\bruch{2n+1}{4}-\bruch{3n^2+3n+1}{6}+\bruch{2n+1}{4}
[/mm]
[mm] =\bruch{2n}{3}+\bruch{n^2}{4}-\bruch{n^3}{6}+\bruch{n^2}{4}-\bruch{6n^2-6n-12}{12}==\bruch{2n}{3}+\bruch{n^2}{4}-\bruch{n^3}{6}+\bruch{n^2}{4}-\bruch{n^2-n-2}{2}==\bruch{2n}{3}+\bruch{n^2}{4}-\bruch{n^3}{6}+\bruch{n^2}{4}-\bruch{(n-1)^2-n-3}{2} [/mm] Von dieser Stelle komme ich, aber auch nicht weiter. Ich habe Versucht die Gleichung mit pq Formel zu lösen, dan bekomme ich [mm] -(\bruch{n}{4}\pm\bruch{\sqrt{(\bruch{n}{2})^2+2}}{2}) [/mm] raus, was aber schon eher in Reele Zahlen als in Ganze Zahlen gehen würde. Noch ein Tipp würde mich freuen.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:18 So 28.10.2012 | | Autor: | abakus |
> Hallo, danke für Fehlerkorrektur (Es hat tatsächlich mit
> [mm]n_{0}=1[/mm] funktioniert und das mit dem Quadrat war auch ein
> Rechtschreibfehler) und den Hinweis. Ich habe's jetzt
> geschaft so etwas zu machen:
>
> Vermutung:
> Für alle [mm]n\in\IN[/mm] ist
> [mm]\bruch{2n}{3}+\bruch{n^2}{4}-\bruch{n^3}{6}+\bruch{n^2}{4}[/mm]
> Induktionsanfang:
> [mm]n_{0}=1[/mm]
> [mm]\bruch{2}{3}+\bruch{1^2}{4}-\bruch{1^3}{6}+\bruch{1^2}{4}[/mm]
>
> [mm]\bruch{8}{12}+\bruch{3}{12}-\bruch{2}{12}+\bruch{3}{12}=1[/mm]
>
> [mm]1\in\IZ[/mm]
> Induktionsvoraussetzung:
>
> [mm]\bruch{2n}{3}+\bruch{n^2}{4}-\bruch{n^3}{6}+\bruch{n^2}{4}\in\IZ[/mm]
> Induktionsbehauptung:
>
> [mm]\bruch{2(n+1)}{3}+\bruch{(n+1)^2}{4}-\bruch{(n+1)^3}{6}+\bruch{(n+1)^2}{4}\in\IZ[/mm]
> Induktionsschluß:
>
> [mm]\bruch{2(n+1)}{3}+\bruch{(n+1)^2}{4}-\bruch{(n+1)^3}{6}+\bruch{(n+1)^2}{4}=\bruch{2n+2}{3}+\bruch{n^2+2n+1}{4}-\bruch{n^3+3n^2+3n+1}{6}+\bruch{n^2+2n+1}{4}[/mm]
>
> [mm]=\bruch{2n}{3}+\bruch{2}{3}+\bruch{n^2}{4}+\bruch{2n+1}{4}-\bruch{n^3}{6}-\bruch{3n^2+3n+1}{6}+\bruch{n^2}{4}+\bruch{2n+1}{4}[/mm]
>
> [mm]\underbrace{=\bruch{2n}{3}+\bruch{n^2}{4}-\bruch{n^3}{6}+\bruch{n^2}{4}}_{ist nach der Voraussetzung ganzzahlig}+ \bruch{2}{3}+\bruch{2n+1}{4}-\bruch{3n^2+3n+1}{6}+\bruch{2n+1}{4}[/mm]
>
> [mm]=\bruch{2n}{3}+\bruch{n^2}{4}-\bruch{n^3}{6}+\bruch{n^2}{4}-\bruch{6n^2-6n-12}{12}==\bruch{2n}{3}+\bruch{n^2}{4}-\bruch{n^3}{6}+\bruch{n^2}{4}-\bruch{n^2-n-2}{2}==\bruch{2n}{3}+\bruch{n^2}{4}-\bruch{n^3}{6}+\bruch{n^2}{4}-\bruch{(n-1)^2-n-3}{2}[/mm]
> Von dieser Stelle komme ich, aber auch nicht weiter. Ich
Hallo,
du musst dsoch nur zeigen, dass der Zähler [mm] $n^2-n-2$ [/mm] durch den Nenner 2 teilbar ist.
Bedenke, dass [mm] $n^2-n$=n(n-1)$ [/mm] das Produkt zweier aufeinander folgender natürlicher Zahlen (eine gerade, eine ungerade) ist (bzw. dass [mm] $n^2-n-2=(n-2)(n+1)$ [/mm] gilt.
Gruß Abakus
> habe Versucht die Gleichung mit pq Formel zu lösen, dan
> bekomme ich
> [mm]-(\bruch{n}{4}\pm\bruch{\sqrt{(\bruch{n}{2})^2+2}}{2})[/mm]
> raus, was aber schon eher in Reele Zahlen als in Ganze
> Zahlen gehen würde. Noch ein Tipp würde mich freuen.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:02 So 28.10.2012 | | Autor: | tobit09 |
Hallo Arkathor,
> P.S. Eine schönheitsfrage. Wenn ich mit der Rechnung in
> neue Zeile muss, schreibe ich dann '=' Zeichen am Ende der
> letzter Zeile oder am Anfang neuer?
Schreibe das Gleichheitszeichen an den Anfang der neuen Zeile.
Viele Grüße
Tobias
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