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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:12 Mi 02.11.2011 | | Autor: | Fee |
| Aufgabe | Zeige , dass die Folge eine Summenfolge ist. Die Einerziffer bleibt 6.
a) f(x)=6 hoch x |
Hey Leute ! B)
Was ist eig genau der Induktionsbeweis ?
Weis jemand wie das geht ?
Eure liebe Fee
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> Zeige , dass die Folge eine Summenfolge ist. Die
> Einerziffer bleibt 6.
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> a) f(x)=6 hoch x
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> Was ist eig genau der Induktionsbeweis ?
>
> Weiß jemand wie das geht ?
>
> Eure liebe Fee
Hallo liebe Fee,
die Aufgabe erscheint etwas rätselhaft. Im Zusammenhang
mit Feen erscheint das zunächst gar nicht so verwunderlich.
Falls mit f(x) das x-te Glied der Zahlenfolge (mit [mm] x\in\IN)
[/mm]
gemeint ist, dann kann man zunächst einige Glieder wie
f(1)=6, [mm] f(2)=6^2=36, f(3)=6^3=216 [/mm] etc. berechnen und fest-
stellen, dass diese Glieder tatsächlich allesamt mit der
Einerziffer 6 enden. Erstaunlich ist dies aber keinesfalls,
da sich die Einerziffer eines Produkts ganzer Zahlen stets
aus der Einerziffer des Produktes der Einerziffern der
beiden Faktoren ergibt - und nun ist eben einmal die
Einerziffer des Produktes 6*6=36 wieder eine 6 ,
und so weiter: da sowohl 6 als auch [mm] 6^2=36 [/mm] mit der
Ziffer 6 enden, endet auch das Produkt [mm] 6*6^2=6^3
[/mm]
im Dezimalsystem wieder mit einer 6 , etc.
(das wäre die einfache Lösung)
Eure hochgeehrte Lehrkraft scheint sich aber dazu etwas
ganz Besonderes einfallen lassen haben: Zuerst soll
"gezeigt" werden, dass die vorliegende Folge eine
Summenfolge ist ... Das ist gewaltig ! ... denn jede
beliebige Zahlenfolge, also auch die vorliegende, lässt
sich als eine Summenfolge auffassen. Darauf muss aber
jemand erst kommen.
Um herauszufinden, aus welcher Zahlenfolge man denn
die Folge der f(x) als Summenfolge bekommt, bildet
man erst einmal die Differenzenfolge d mit d(x)=f(x+1)-f(x):
[mm] d(1)=f(2)-f(1)=6^2-6^1=36-6=30
[/mm]
[mm] d(2)=f(3)-f(2)=6^3-6^2=216-36=180
[/mm]
[mm] d(3)=f(4)-f(3)=6^4-6^3=1296-216=1080
[/mm]
Großes Aha-Erlebnis: alle diese Zahlen enden mit einer Null !
Aber nun soll man dies offenbar noch beweisen ...
Natürlich können wir jetzt das Folgenglied f(x) als Summe
darstellen, zum Beispiel
f(4)=f(1)+d(1)+d(2)+d(3)=6+30+180+1080=1296
Fabelhaft: das stimmt sogar !
Wenn man nun noch beweisen könnte, dass alle Glieder
der d - Folge tatsächlich mit einer Null enden, so hätten
wir den gesuchten Beweis ...
Also probieren wir mal:
[mm] d(x)=f(x+1)-f(x)=6^{x+1}-6^x=6^x*(6-1)=6^x*5
[/mm]
Dieses Ergebnis ist einerseits bestimmt durch 5 teilbar,
andererseits aber auch noch durch 2, weil
[mm] 6^x=6^{x-1}*6=6^{x-1}*(3*2)=(6^{x-1}*3)*2
[/mm]
Insgesamt haben wir also
[mm] d(x)=6^x*5=(6^{x-1}*3)*2*5=(6^{x-1}*3)*10
[/mm]
d.h. d(x) ist durch 10 teilbar für alle [mm] x\in\IN [/mm] .
Zusammenfassend können wir also schließen:
$ [mm] f(x)=\underbrace{f(1)}_6+\underbrace{d(1)+d(2)+d(3)+ ..... +d(x-1)}_{alle\ einzeln\ durch\ 10\ teilbar}$
[/mm]
$\ =6+10*K$
Der gloriose Schluss:
f(x) muss die Endziffer 6 haben !
(Sorry, das ist jetzt nicht ganz exakt ein Induktionsbeweis
geworden, aber ich habe doch mit bestem Können und
Spüren versucht, den Gedankengängen der Lehrkraft
nachzugehen ...)
Kurz zusammengefasst: wenn man die Dinge lieber
kompliziert als einfach sehen will, dann ist das auch in
Mathe möglich.
LG Al-Chwarizmi
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