Beweis der Nicht-Rationalität < Sonstiges < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 00:11 Do 30.09.2010 | | Autor: | Kueken |
| Aufgabe | | Beweise, dass 1 + [mm] \wurzel{2} [/mm] keine rationale Zahl ist. |
Hallo, ich habe hier Schwierigkeiten einen Ansatz zu finden.
Ich habe bisher aufgestellt, dass wenn 1 + [mm] \wurzel{2} [/mm] eine rationale Zahl ist (also Beweis durch Widerspruch habe ich gwählt), sie gleich [mm] \bruch{a}{b} [/mm] ist, wobei a und b teilerfremd sein sollen.
Tja und nu häng ich da. Hab schonmal umgestellt und mal quadriert aber, ich habe überhaupt keine Ahnung wo ich überhaupt hin will. Diese 1 vor der Wurzel macht mich fertig.
Wäre super wenn mir jemand einen Tipp geben könnte, ich hab mich vermutlich schon total verfranst.
Liebe Grüße und Dankeschön schonmal
Kerstin
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:18 Do 30.09.2010 | | Autor: | Blech |
Hi,
mit [mm] $p,q,a,b\in\IZ$ [/mm] und [mm] $r\in\IR\setminus\IQ$ [/mm] können wir aus
[mm] $\frac [/mm] pq + r = [mm] \frac [/mm] ab$
durch Widerspruch zeigen, daß rationale+irrationale Zahl eine irrationale Zahl ergibt.
ciao
Stefan
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:22 Do 30.09.2010 | | Autor: | Kueken |
Ähm, danke schonmal für deine Antwort. Aber ehrlich gesagt bin ich noch etwas ratlos, denn ich weiß den nächsten Schritt nicht, besser gesagt ich komm jetzt nicht drauf wie ich das jetzt mit diesem Term zeigen soll.
LG
Kerstin
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Hallo,
wenn Du das zeigen kannst, was Blech vorschlägt, kannst Du danach aus [mm] \wurzel{2}\in\IR\setminus\IQ [/mm] doch direkt [mm] (1+\wurzel{2})\in\IR\setminus\IQ [/mm] folgern.
Im übrigen wirst Du darum auch nicht herumkommen. Durch Quadrieren gelangst Du doch auch nur zu [mm] 3+2\wurzel{2}=1+2(1+\wurzel{2}).
[/mm]
Wenn Du nicht noch die Multiplikation irrationaler Zahlen mit rationalen (Ergebnis: irrational) untersuchen willst, müsstest du hier sogar noch zeigen, dass die Summe zweier irrationaler Zahlen ebenfalls irrational ist.
Den Beweis, dass [mm] \wurzel{2} [/mm] irrational ist, musst du m.E. nicht mehr führen. Das hat ja schon ![[]](/images/popup.gif) Euklid getan.
Grüße
reverend
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(Korrektur) kleiner Fehler  | | Datum: | 00:54 Do 30.09.2010 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
>...
> Wenn Du nicht noch die Multiplikation irrationaler Zahlen
> mit rationalen (Ergebnis: irrational) untersuchen willst,
> müsstest du hier sogar noch zeigen, dass die Summe zweier
> irrationaler Zahlen ebenfalls irrational ist.
ich will Dich nur kurz darauf hinweisen, dass diese Aussage offenbar falsch ist:
Beispiel 1 (trivial):
[mm] $$\pm \sqrt{2} \in \IR \setminus \IQ\,, \text{ aber }-\sqrt{2}+\sqrt{2} [/mm] ???$$
Beispiel 2 (fasttrivial):
$$ [mm] \sqrt{2},2-\sqrt{2} \in \IR \setminus \IQ\,, \text{ aber }\sqrt{2}+(2-\sqrt{2}) [/mm] ???$$
Beste Grüße,
Marcel
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(Korrektur) richtig (detailiert geprüft)  | | Datum: | 01:34 Do 30.09.2010 | | Autor: | felixf |
Moin Marcel,
> >...
> > Wenn Du nicht noch die Multiplikation irrationaler
> Zahlen
> > mit rationalen (Ergebnis: irrational) untersuchen willst,
> > müsstest du hier sogar noch zeigen, dass die Summe zweier
> > irrationaler Zahlen ebenfalls irrational ist.
>
> ich will Dich nur kurz darauf hinweisen, dass diese Aussage
> offenbar falsch ist:
> Beispiel 1 (trivial):
> [mm]\pm \sqrt{2} \in \IR \setminus \IQ\,, \text{ aber }-\sqrt{2}+\sqrt{2} ???[/mm]
>
> Beispiel 2 (fasttrivial):
> [mm]\sqrt{2},2-\sqrt{2} \in \IR \setminus \IQ\,, \text{ aber }\sqrt{2}+(2-\sqrt{2}) ???[/mm]
ja, die Aussage war so falsch. Gemeint war: Summe aus rationaler und irrationaler Zahl.
(Produkt geht auch, solange die rationale Zahl nicht 0 ist.)
LG Felix
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:50 Do 30.09.2010 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Ähm, danke schonmal für deine Antwort. Aber ehrlich
> gesagt bin ich noch etwas ratlos, denn ich weiß den
> nächsten Schritt nicht, besser gesagt ich komm jetzt nicht
> drauf wie ich das jetzt mit diesem Term zeigen soll.
das ganze ist eigentlich schon fast "zu aufwendig" formuliert - bzw. eigentlich überlegt man sich folgendes:
1.) [mm] $(\IQ,+,*)\,$ [/mm] ist ein Körper. Was wir davon eigentlich brauchen:
Insbesondere gilt für die Abbildung [mm] $+\,,$ [/mm] dass $+: [mm] \IQ \times \IQ \to \IQ\,,$ [/mm] bzw. in Worten:
Die Addition zweier rationaler Zahlen ergibt stets eine rationale Zahl - man sagt "Die Addition ist abgeschlossen."
(Das kann man sich übrigens elementar überlegen: Ist Dir klar, wie man das zeigt? Denn das ist hier ein wesentlicher (wenngleich auch banaler) Teil Deiner Aufgabe.)
2.) In [mm] $\IQ$ [/mm] ist das additiv Inverse von $1 [mm] \in \IQ$ [/mm] die $-1 [mm] \in \IQ\,,$ [/mm] d.h. es gilt $-1 [mm] \in \IQ$ [/mm] und [mm] $1+(-1)=(-1)+1=0\,.$ [/mm] Wir erwähnen zudem, dass $0 [mm] \in \IQ$ [/mm] das neutrale Element bzgl. der Addition ist, also [mm] $t+0=0+t=t\,$ [/mm] für alle $t [mm] \in \IQ$ [/mm] gilt. (Benutzt wird hier auch die Kommutativität der Addition - man bräuchte sie an dieser Stelle nicht zwingend.)
3.) Jetzt kommt, mit dem vorhergenannten Wissen, der eigentliche Beweis:
Wir nehmen an, es wäre [mm] $1+\sqrt{2}=q \in \IQ\,.$ [/mm] Dann ist wegen der Abgeschlossenheit der Addition $(-1)+q [mm] \in \IQ$ [/mm] und daher folgt wegen (beachte bei der Rechnung auch die Assoziativität der Addition!)
[mm] $$(-1)+q=(-1)+(1+\sqrt{2})=((-1)+1)+\sqrt{2}=0+\sqrt{2}=\sqrt{2}$$
[/mm]
somit
[mm] $$(-1)+q=\red{\sqrt{2} \in \IQ}\,,$$
[/mm]
was bekanntlich falsch ist. Widerspruch.
Beste Grüße,
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 00:57 Do 30.09.2010 | | Autor: | Kueken |
Vielen Dank dafür!
Also wir haben mal 2 Minuten die Körper angeschnitten, aber die Axiome kenne ich nur noch dunkel daher dass ich mich mal vor Jahren selbst damit beschäftigt habe. Da wär ich nie im Leben drauf gekommen.
Vielen Dank nochmal, jetzt kann ich beruhigt schlafen gehen und morgen Teil b meiner schicken Aufgabe machen :) Jetzt weiß ich schonmal die richtige Richtung *g*.
Lieben Gruß
Kerstin
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 01:10 Do 30.09.2010 | | Autor: | Marcel |
Hallo Kerstin,
> Vielen Dank dafür!
>
> Also wir haben mal 2 Minuten die Körper angeschnitten,
> aber die Axiome kenne ich nur noch dunkel daher dass ich
> mich mal vor Jahren selbst damit beschäftigt habe. Da wär
> ich nie im Leben drauf gekommen.
> Vielen Dank nochmal, jetzt kann ich beruhigt schlafen
> gehen und morgen Teil b meiner schicken Aufgabe machen :)
> Jetzt weiß ich schonmal die richtige Richtung *g*.
Du brauchst nicht alle Körperaxiome, aber sowas wie "additiv Inverses" und Assoziativität wird benutzt. Die Kommutativität der Addition kann man sich hier auch ersparen, dazu schaue man sich mal ein paar Aussagen bzgl. Gruppen an. Hier kann man durchaus auch einfach sagen: "Wir dürfen wie gewöhnlich rechnen (es gilt also die Assoziativität der Addition und und und...), daher folgt..."
Wichtig für Dich, bzw. der eigentliche Knackpunkt hier, ist aber:
Die Summe zweier rationaler Zahlen ist stets wieder eine rationale Zahl. Dies kann man so beweisen:
1. Rationale Zahlen sind gekennzeichnet durch eine Darstellung [mm] $m/n\,,$ [/mm] wobei $m [mm] \in \IZ$ [/mm] und $n [mm] \in \IN$ [/mm] (dabei enthalte [mm] $\IN$ [/mm] die [mm] $0\,$ [/mm] nicht!!!).
(Genauer ist hier gemeint: Jede so dargestellte Zahl ist eine rationale, und jede rationale Zahl (in Bruchdarstellung nicht notwendig gekürzt!) kann man so darstellen. Z.B. kann man [mm] $2/(-4)\,,$ [/mm] welches eine Zahl in [mm] $\IQ$ [/mm] ist, in die geforderte Form bringen wegen der Identifizierung [mm] $2/(-4)=(-2)/4\,.$ [/mm] Selbstverständlich geht auch [mm] $2/(-4)=(-1)/2\,.$)
[/mm]
2. Berechne nun mal
[mm] $$p/q\;+\;r/s$$
[/mm]
für $p,r [mm] \in \IZ$ [/mm] und $q,s [mm] \in \IN\,,$ [/mm] und zwar wie bekannt durch "Nennergleichmachen". Danach musst Du nur begründen, dass dieser so entstandene Bruch [mm] $m/n\,,$ [/mm] wobei genauer [mm] $m=p*s+q*r\,$ [/mm] und [mm] $n=q*s\,$ [/mm] gilt, erfüllt: $m [mm] \in \IZ$ [/mm] und $n [mm] \in \IN\,.$ [/mm] Das ist fast banal, ich begründe es mal für [mm] $n\,:$
[/mm]
Das Produkt zweier Zahlen aus [mm] $\IN$ [/mm] ist stets wieder in [mm] $\IN\,,$ [/mm] daher folgt wegen $q,s [mm] \in \IN$ [/mm] sofort $n=q*s [mm] \in \IN\,.$
[/mm]
Beste Grüße,
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:36 Di 19.10.2010 | | Autor: | Kueken |
Ui, da hätte ich wohl nochmal ins Forum schauen sollen :)
Aber was du geschrieben hast, hilft mir gerade bei einer anderen Sache mächtig weiter.
Dankeschön für deine Mühe! Das hat mich echt weitergebracht!
Liebe Grüße
Kerstin
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