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Forum "Analysis des R1" - Beweis der Stetigkeit
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Beweis der Stetigkeit: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:26 Fr 05.01.2007
Autor: ueberforderter_Ersti

Aufgabe
Für n [mm] \in \IN [/mm] seien die Funktionen [mm] f_{n}: \IR \to \IR [/mm] deiniert durch [mm] f_{n}(x):= \bruch{nx}{5+|nx|} [/mm]
Zeige dass alle Funktionen [mm] f_{n} [/mm] stetig sind

Ich habe mir versucht verschiedene Skizzen zu machen für verschiedene n, die Stetigkeit ist mir auch einigermassen einleuchtend, nur habe ich keine Ahnung wie man Stetigkeit beweisen kann.
Funktionswert = Grenzwert
Leider weiss ich nicht wie ich das anwenden kann, könnte mir hier jemand helfen?
Vielen Dank im Vorraus!

p.s. Ich habe diese Frage auf keine andere Internetseite gestellt.

        
Bezug
Beweis der Stetigkeit: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:39 Fr 05.01.2007
Autor: angela.h.b.


> Für n [mm]\in \IN[/mm] seien die Funktionen [mm]f_{n}: \IR \to \IR[/mm]
> deiniert durch [mm]f_{n}(x):= \bruch{nx}{5+|nx|}[/mm]
>  Zeige dass
> alle Funktionen [mm]f_{n}[/mm] stetig sind
>  Ich habe mir versucht verschiedene Skizzen zu machen für
> verschiedene n, die Stetigkeit ist mir auch einigermassen
> einleuchtend, nur habe ich keine Ahnung wie man Stetigkeit
> beweisen kann.
>  Funktionswert = Grenzwert
>  Leider weiss ich nicht wie ich das anwenden kann, könnte
> mir hier jemand helfen?


Hallo,

Du kannst Dir die Funktionen ja abschnittweise definiert aufschreiben.

A. Für n=0 hat man [mm] f_0(x):=0. [/mm]   Hier erübrigen sich sowieso weitere Überlegungen, denn die Stetigkeit dieser Funktion ist klar.

B. Für n>0  hat man:

[mm] f_n(x):=\begin{cases} \bruch{nx}{5+nx}, & \mbox{für } x\ge 0 \mbox{ } \\ \bruch{nx}{5-nx}, & \mbox{für } x< 0 \mbox{ } \end{cases} [/mm]

Man sieht, daß es nur eine kritische Stelle gibt, an welcher überhaupt die Stetigkeit infrage steht, die Stelle x=0.

Ist an dieser Stelle [mm] \limes_{x\rightarrow 0}f(x)=f(0) [/mm] ?
Irgendwie ja schon, oder? Man muß es nur beweisen...

Ein bißchen kommt es jetzt darauf an, wie Ihr Grenzwerte von Funktionen und Stetigkeit eingeführt habt.

ICH würde es mit dem [mm] \varepsilon -\delta-Kriterium [/mm] für Stetigkeit (kam es vor?) beweisen:

Du nimmst Dir ein [mm] \varepsilon>0, [/mm] wähltst ein dazu passendes [mm] \delta:= [/mm] ??? (die konkrete Wahl verschieb auf später, wenn Du weißt, was paßt!), betrachtest die x in einer [mm] \delta-Umgebung [/mm] von 0, also die x mit [mm] |x-0|<\delta, [/mm] und zeigst:  [mm] |f(x)-f(0)|<\varepsilon. [/mm]

C. n<0.   Analog.

Gruß v. Angela

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