Beweis der Stetigkeit < Sonstiges < Schule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | Gegeben sind die Funktionen [mm] f(x)=x^{5}+x [/mm] und [mm] g(x)=x^{2}+2
[/mm]
Zeige, dass f und g mindestens eine Schnittstelle haben. |
Hallo,
an sich kein Problem, ich weiß was ich machen muss, leider nicht wie^^
ich habe einfach x gegen +-unendlich laufen lassen, demnach festgestellt, dass f von -unendlich zu +unendlich läuft, und g von +u. nach +u.. Dann habe ich gesagt, da [mm] x^{5} [/mm] schneller steigt als [mm] x^{2}, [/mm] schneiden sie sich, solange sie stetig sind.
Jetzt zu meinem Problem: Im Unterricht war bisher immer angegeben, dass die Funktionen stetig sind, hier nicht, deshalb gehe ich von aus, dass ich das hier beweisen muss, weiß aber nicht wie, und komme auch mit der Formelsammlung nicht weiter, weil ich es nicht verstehe.
Bitte um Hilfe,
lG Bene
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
|
|
| |
|
Hallo,
> Gegeben sind die Funktionen [mm]f(x)=x^{5}+x[/mm] und [mm]g(x)=x^{2}+2[/mm]
> Zeige, dass f und g mindestens eine Schnittstelle haben.
> an sich kein Problem, ich weiß was ich machen muss, leider
> nicht wie^^
> ich habe einfach x gegen +-unendlich laufen lassen,
> demnach festgestellt, dass f von -unendlich zu +unendlich
> läuft, und g von +u. nach +u.. Dann habe ich gesagt, da
> [mm]x^{5}[/mm] schneller steigt als [mm]x^{2},[/mm] schneiden sie sich,
> solange sie stetig sind.
Das ist der richtige Grundgedanke.
> Jetzt zu meinem Problem: Im Unterricht war bisher immer
> angegeben, dass die Funktionen stetig sind, hier nicht,
> deshalb gehe ich von aus, dass ich das hier beweisen muss,
> weiß aber nicht wie, und komme auch mit der Formelsammlung
> nicht weiter, weil ich es nicht verstehe.
Ich bin mir sehr sicher, dass du einfach sagen darfst, dass diese Funktion stetig sind. Du musst das nicht beweisen. Auf der absolut sicheren Seite bist du, wenn du schreibst:
f,g sind Polynome. Polynome sind stetig als Summe und Multiplikation der stetigen Funktion $h(x)= x$.
----
Ein möglicher (genauerer) Lösungsansatz für die Aufgabe ist:
Betrachte die Differenzfunktion
$d(x) = f(x) - g(x)$
Wenn $d(x) = 0$ ist, so ist $x$ ein Schnittpunkt der Funktionen f und g. Ziel ist es also zu zeigen, dass die Funktion d eine Nullstelle besitzt.
Dazu zeigen wir:
d(0) = -2
d(10) = 100010 - 102 > 0.
(10 ist dabei eine willkürlich gewählte große Zahl)
d ist stetig als Differenz zweier stetiger Funktionen. Nach dem Zwischenwertsatz für stetige Funktionen gibt es eine Stelle [mm] $x_0$ [/mm] mit [mm] $d(x_0) [/mm] = 0$.
Viele Grüße,
Stefan
|
|
|
| |
|
Super, vielen Danke und Gute Nacht :)
|
|
|
|
