Beweis des Distributivgesetzes < Mengenlehre < Logik+Mengenlehre < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Aufgabe 4
Die Gleichung
[mm]X \cup (Y \cap Z) = (X \cup Y) \cap (X \cup Z) [/mm]
ist noch nicht bewiesen worden.
(i) Führen Sie die Gleichung auf eine der Äquivalenzen zurück.
(ii) Beweisen Sie die Äquivalenz mit Hilfe einer Wahrheitstafel.
(iii) Zeichnen Sie zur Gleichung ein oder mehrere Venn-Diagramme. |
Hey Leute,
zu (i), da habe ich hier in meinem Skript mehrere, Distributive Äquivalenzen. Zurückführen heißt einfach nur aufschreiben welche analog zu dieser ist oder wie meint man das da genau?
Zu (ii) wie macht man das mit der Wahrheitstafel bei 3 Werten, also in dem Beispiel X, Y, Z?
Zu (iii) ist auch einfach, denn X vereinigt sich einfach mit dem durchschnitt also der Menge die nicht disjunkt zu Y und Z sind -> also deren Schnittmenge.
3 Kreise, X ist komplett ausgemalt Y und Z nur in den Mengen in denen sie sich schneiden.
Danke schonmal!
Blackpearl
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> Aufgabe 4
> Die Gleichung
> [mm]X \cup (Y \cap Z) = (X \cup Y) \cap (X \cup Z)[/mm]
> ist noch
> nicht bewiesen worden.
> (i) Führen Sie die Gleichung auf eine der Äquivalenzen
> zurück.
> (ii) Beweisen Sie die Äquivalenz mit Hilfe einer
> Wahrheitstafel.
> (iii) Zeichnen Sie zur Gleichung ein oder mehrere
> Venn-Diagramme.
> Hey Leute,
>
> zu (i), da habe ich hier in meinem Skript mehrere,
> Distributive Äquivalenzen. Zurückführen heißt einfach
> nur aufschreiben welche analog zu dieser ist oder wie meint
> man das da genau?
Du hast zum Beispiel eine Distributive Äquivalenz in der Logik. Damit kannst du die Aussage umformulieren und auf die Logik zurückführen.
>
> Zu (ii) wie macht man das mit der Wahrheitstafel bei 3
> Werten, also in dem Beispiel X, Y, Z?
Du hast nun [mm]2^3[/mm] Möglichkeiten die Wahrheitswerte von x,y,z zu kombinieren:[mm]\begin{array}{c|c|c||c|c|}\mathbf{X}&\mathbf{Y}&\mathbf{Z}&\ldots&\ldots\\
\hline &&&&\\
\hline &&&&\\
\hline &&&&\\
\hline &&&&\\
\hline &&&&\\
\hline &&&&\\
\hline &&&&\\
\hline &&&&\end{array}\ldots [/mm]
>
> Zu (iii) ist auch einfach, denn X vereinigt sich einfach
> mit dem durchschnitt also der Menge die nicht disjunkt zu Y
> und Z sind -> also deren Schnittmenge.
Wer sagt denn, dass Y und Z nicht disjunkt sind?
> 3 Kreise, X ist komplett ausgemalt Y und Z nur in den
> Mengen in denen sie sich schneiden.
So könnte es gehen.
>
> Danke schonmal!
>
> Blackpearl
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Deine Antwort zu (i) hab ich leider nicht verstanden. Weiss nicht was ich damit anfangen soll.
Zu deiner Antwort zu (ii): Also muss ich in der Wahrheitstafel jetzt erstma der Klammer einen Wahrheitswert zuordnen und dann mit diesem Wahrheits wert nochma einen für die Aussage ausserhalb der Klammer oder wie genau jetzt?
Zu (iii):
Tut mir leid stimt ja.. disjunkte Mengen sind dann disjunkte Mengen sobald sie nur EIN disjunktes Element enthalten..^^
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>> Führen Sie die Gleichung auf eine der Äquivalenzen zurück.
Welche hattest du?
> Deine Antwort zu (i) hab ich leider nicht verstanden. Weiss
> nicht was ich damit anfangen soll.
Es gibt die folgenden Äquivalenz in der Logik [mm]\red{x\vee (y\wedge z)}\equiv \red{(x\vee y)\wedge (x\vee z)}[/mm] (Assoziativität)
Anfang: [mm]p\in (X\cup (Y\cap Z))\gdw p\in X \vee (p\in Y \wedge p\in Z)\gdw \ldots \gdw (p\in X \vee p\in Y) \wedge (p\in X \vee p\in Z)[/mm]
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> Zu deiner Antwort zu (ii): Also muss ich in der
> Wahrheitstafel jetzt erstma der Klammer einen Wahrheitswert
> zuordnen und dann mit diesem Wahrheits wert nochma einen
> für die Aussage ausserhalb der Klammer oder wie genau
> jetzt?
[mm]\begin{array}{c|c|c||c|c|c|c|c|c|}\mathbf{x}&\mathbf{y}&\mathbf{z}&\mathbf{y \wedge z}&\mathbf{x \vee y}&\mathbf{x \vee z}&\red{\mathbf{(x \vee y) \wedge (x \vee z)}}&\red{\mathbf{x \vee (y \wedge z)}}&\mathbf{\color{blue}(x \vee (y \wedge z))\Leftrightarrow (x \vee y) \wedge (x \vee z)\color{black}}\\
\hline &&&&&&&&\\
\hline &&&&&&&&\\
\hline &&&&&&&&\\
\hline &&&&&&&&\\
\hline &&&&&&&&\\
\hline &&&&&&&&\\
\hline &&&&&&&&\\
\hline &&&&&&&&\end{array} [/mm]
Das ist ein möglicher Vorschlag. In den roten Spalten sollte das gleiche stehen, dann sind beide Spalten äquivalent.
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> Zu (iii):
> Tut mir leid stimt ja.. disjunkte Mengen sind dann
> disjunkte Mengen sobald sie nur EIN disjunktes Element
> enthalten..^^
Jetzt wirds noch gruseliger. Was ist ein "EIN disjunktes Element "?
Die Mengen A,B heißen disjunkt [mm]:\gdw A\cap B=\emptyset[/mm] . Damit enthalten disjunkte Mengen kein gemeinsames Element.
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Stimmt.. war ein Denkfehler meinerseits.Die ganze Geschichte ist noch nicht lange in meinem Kopf. :)
Ich geh von Distributivität aus.
Ich sollte die Gleichung auf eine dieser Äquivalenzen zurückführen:
[mm]
1. (A \vee(B \wedge C)) \gdw ((A \vee B) \wedge (A \vee C))
2. (A \wedge(B \vee C)) \gdw ((A \wedge B) \vee (A \wedge C))
[/mm]
deno
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Naja das hab ich doch schon angefangen. Du sollst zeigen, dass für alle Element p in [mm]X\cup (Y\cap Z)[/mm] gilt p liegt auch in [mm](X\cap Y)\cup (X\cap Z)[/mm] und umgekehrt.
[mm] p\in (X\cup (Y\cap Z))\gdw \ldots \gdw \blue{p\in X \vee (p\in Y \wedge p\in Z)}[/mm]Wenn du jetzt die Aussagen wie folgt defninierst:[mm]x:=p \in X[/mm], [mm]y:=p \in Y[/mm],[mm]z:=p \in Z[/mm]lässt sich das Blaue schreiben als[mm]\ldots \gdw \blue{x\vee (y\wedge z)}[/mm]
Dann wendest du die Äquivalenz an und schreibst wieder alles zurück.
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Könntest du mir einfach mal die komplette Lösung zur Aufgabe aufschreiben? Ich weiss einige versuchen hier das System auszunutzen, aber ich verlier gerade den kompletten Überblick. Für dich ist das so easy.. aber ich zerbrech mir halt noch den Kopf. ://
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Sei
[mm]p\in X\cup (Y\cap Z)\gdw p\in X \vee p\in Y\cap Z\gdw p\in X\vee (p\in Y \wedge p\in Z)\gdw \blue{x\vee (y\wedge z)\gdw (x\vee y)\wedge (x\vee z)} \gdw \ldots [/mm]
[mm]\ldots \gdw (p\in X \vee p\in Y) \wedge (p\in X \vee p\in Z)\gdw p\in X\cup Y \wedge p\in X\cup Z \gdw p\in (X\cup Y)\cap (X\cup Z)[/mm]
im blauen Teil steht die Äquivalenz auf die es zurückgeführt wird, mit
[mm] x:=\alpha(p \in X) [/mm], [mm] y:=\alpha(p \in Y) [/mm],[mm] z:=\alpha(p \in Z) [/mm]
Ich schreib mal lieber [mm]\alpha(\ldots)[/mm] das es sich im die Aussage handelt.
Es ist immer die gleiche Idee.
[mm] $A=(A^C)^C$ [/mm] kann man auf [mm] $\neg (\neg x)\equiv [/mm] x$ zurückführen.
[mm] $A\cap [/mm] A=A$ kann man auf [mm] $x\wedge x\equiv [/mm] x$ zurückführen
[mm] $A\cup [/mm] A = A$ ...
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Darf ich dich noch fragen wofür[mm] (p \in X) $ [/mm]steht? Muss man das dazu schreiben?
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:29 Sa 23.10.2010 | | Autor: | wieschoo |
Wenn das wirkliche eine Frage ist, dann kann man auf die Antwort gespannt sein.
Tut mir leid, aber ich verstehe leider nicht was du möchtest.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:20 Sa 23.10.2010 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:41 Do 21.10.2010 | | Autor: | Blackpearl |
Okay! Hab (ii) und (iii) fertig. Doch bei (i) weiss ich immernoch nicht was das Blatt will.
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