Beweis des Satzes von Rolle < Differentiation < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Beweisen Sie den Satz von Rolle! |
Satz von Rolle:" Sei f eine in [a,b] stetige und in ]a;b[ differenzierbare Funktion mit f(a) =f(b)=0. Dann gibt es in ]a;b[ mindestens eine Stelle x0 (also x und unten die Null) für die gilt: f'(x)=0."
Ich schreibe am Mittwoch eine Mathe Klausur für Chemie und der Beweis wird wohl abgefragt.
Da ich von beweisen überhaupt keine Ahnung habe, hab ich mir gedacht, ich wende mich an euch Mathe Genies.
Wär echt super lieb, wenn ihr mir da helfen könntet.
LG
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo,
also ich hab den Beweis schon mal in einer Übungsaufgabe gemacht:
Annahme
Satz von Rolle:
Es sei f(x) im Intervall [a;b] [mm] \IR, [/mm] stetig auf [a;b] und differenzierbar auf (a;b).
Ist f(a)=f(b), so existiert mindestens ein x [mm] \varepsilon [/mm] (a;b) mit der Eigenschaft
f '(x)=0.
Beweis
1.Fall:
Für alle x [mm] \varepsilon[a;b] [/mm] gilt f(x)=f(a)=f(b)=C.
Da dies eine konstante Funktion ist, gilt für alle x [mm] \varepsilon[a;b] [/mm] f '(x)=0.
2.Fall:
Es gibt ein x [mm] \varepsilon[a;b] [/mm] mit f(x) [mm] \not=f(a).
[/mm]
Es existiert mindestens ein Punkt, dessen y-Koordinate von f(a)=f(b) verschieden ist, sonst wäre f konstant (1.Fall).
Somit gibt es mindestens eine Stelle x=xM(Maximum) oder x=xm(Minimum), die ein relatives Extremum ist.
An lokalen und globalen Extremstellen gilt: f'(x)=0. qed
Wenn du noch fragen hast, sag bescheid.
MFG
Nathenatiker
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