Beweis durch Vektorrechnung < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:02 Do 22.11.2007 | | Autor: | Toni908 |
| Aufgabe | Zeigen Sie mit Hilfe der Vektorrechnung und des Skalarpro-
duktes
a) den Satz von Thales: Jeder Winkel über der Peripherie eines Kreises ist ein rechter Winkel.
b) den Kosinussatz: [mm] |c|^{2}=|a|^{2}+|b|^{2}-2|a||b| cos\gamma [/mm] Dabei sind die Vektoren
a; b; c diejenigen, die die Eckpunkte des Dreiecks verbinden, [mm] \gamma [/mm] ist der
zwischen a und b eingeschlossene Winkel. |
Hallo!
Hier weis ich nicht, wie ich an diese Aufgabe ran gehen soll!
Soll ich mir Vektoren ausdenken und dann einfach in den Kosinussatz einsetzten?
Soll ich bei Satz des Thales genau so vorgehen?
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> Zeigen Sie mit Hilfe der Vektorrechnung und des Skalarpro-
> duktes
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> a) den Satz von Thales: Jeder Winkel über der Peripherie
> eines Kreises ist ein rechter Winkel.
> b) den Kosinussatz: [mm]|c|^{2}=|a|^{2}+|b|^{2}-2|a||b| cos\gamma[/mm]
> Dabei sind die Vektoren
> a; b; c diejenigen, die die Eckpunkte des Dreiecks
> verbinden, [mm]\gamma[/mm] ist der
> zwischen a und b eingeschlossene Winkel.
> Hallo!
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> Hier weis ich nicht, wie ich an diese Aufgabe ran gehen
> soll!
>
> Soll ich mir Vektoren ausdenken und dann einfach in den
> Kosinussatz einsetzten?
Zu b) (Kosinussatz): Betrachte ein Dreieck gebildet aus den Vektoren [mm] $\vec{a}$, $\vec{b}$ [/mm] und [mm] $\vec{c}=\vec{a}-\vec{b}$. [/mm] Berechne [mm] $c^2$ [/mm] aus [mm] $\vec{c}\cdot\vec{c}$, [/mm] indem Du für [mm] $\vec{c}$ [/mm] die Summe [mm] $\vec{a}-\vec{b}$ [/mm] einsetzt.
>
> Soll ich bei Satz des Thales genau so vorgehen?
Zu a) (Thales): Betrachte folgende Skizze
[Dateianhang nicht öffentlich]
Gemäss Skizze ist [mm] $\vec{b}=\vec{r}+\vec{s}_c$ [/mm] und [mm] $\vec{a}=\vec{r}-\vec{s}_c$. [/mm] Berechne dann [mm] $\vec{a}\cdot \vec{b}$ [/mm] und zeige, dass wegen [mm] $|\vec{r}|=|\vec{s}_c|$ [/mm] folgt, dass [mm] $\vec{a}\cdot \vec{b}=0$, [/mm] also [mm] $\vec{a}\perp \vec{b}$.
[/mm]
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:15 So 25.11.2007 | | Autor: | Toni908 |
Danke für deine Antwort!
zu b)
also ich hab das berechnet, und [mm] \vec{c}²=\vec{a}²-2\vec{a}\vec{b}+\vec{b}² [/mm] heraus bekommen also ich habe [mm] (\vec{a}-\vec{b})²
[/mm]
was ist denn mit dem [mm] cos\gamma
[/mm]
wo nehme ich denn das her?
Gruß, Toni
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> Danke für deine Antwort!
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> zu b)
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> also ich hab das berechnet, und
> [mm]\vec{c}²=\vec{a}²-2\vec{a}\vec{b}+\vec{b}²[/mm] heraus bekommen
> also ich habe [mm](\vec{a}-\vec{b})²[/mm]
>
> was ist denn mit dem [mm]cos\gamma[/mm]
>
> wo nehme ich denn das her?
Ich nehme Bezug auf meine Skizze im Beitrag https://www.vorhilfe.de/read?i=330335.
Aufgrund dieser Skizze ist [mm] $\vec{a}=\vec{r}-\vec{s}_c$ [/mm] und [mm] $\vec{b}=\vec{r}+\vec{s}_c$.
[/mm]
Daher ist das Skalarprodukt von [mm] $\vec{a}$ [/mm] und [mm] $\vec{b}$ [/mm] gleich [mm] $\vec{a}\cdot\vec{b}=(\vec{r}-\vec{s}_c)\cdot(\vec{r}+\vec{s}_c)=|\vec{r}|^2-|\vec{s}_c|^2=0$
[/mm]
Das letzte Gleichheitzeichen gilt, weil (gemäss erwähnter Skizze) [mm] $|\vec{r}|=|\vec{s}_c|$ [/mm] ist (den beides sind Vektoren, die vom Mittelpunkt $M$ des Halbkreises zu einem Punkt auf dem Halbkreis führen).
Da das Skalarprodukt [mm] $\vec{a}\cdot\vec{b}=0$ [/mm] ist, schliessen wir also auf [mm] $\vec{a}\perp\vec{b}$, [/mm] was zu zeigen war.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:09 So 25.11.2007 | | Autor: | Toni908 |
Ich habe noch eine andere Frage.
ich verstehe die aufgabenstellung nicht, ich weis wie ich einen Einheitsvektor bilde! Ich weis nur nicht was hier mit dem vektor [mm] e^{1} e^{2} e^{3} [/mm] des Vektorraumes gemeint ist.
gegeben sind die vektoren [mm] a=(-3,1,2)^{T} [/mm] und [mm] b=(-1,-3,2)^{T}
[/mm]
in der aufgabenstellung soll ich den winkel zwischen diesen beiden berechnen.
wie man den winkel zwischen zwei vektoren berechnet weis ich auch!
Vielen Dank schonmal!
Gruß Toni
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:45 So 25.11.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
offensichlich weisst du zu wenig über das Skalarprodukt:
[mm] \vec{a}*\vec{b}=a*b*cos\alpha [/mm] wobei [mm] \alpha [/mm] der Winkel ist, den a und b einschliessen.
anderreseits: [mm] \vec{a}*\vec{b}=a1b1+a2b2+a3b3
[/mm]
das gibt auch aAntwort auf deine vorige Frage, da musst du [mm] 2*\vec{a}*\vec{b} [/mm] wie oben ersetzen.
Gruss leduart
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:39 So 25.11.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
> Zeigen Sie mit Hilfe der Vektorrechnung und des Skalarpro-
> duktes
>
> a) den Satz von Thales: Jeder Winkel über der Peripherie
> eines Kreises ist ein rechter Winkel.
Was das heissen soll versteh ich nicht "Winkel über der Peripherie " ist was was ich nicht versteh.
richtig wäre: jeder Perepheriewinkel über dem Durchmesser ist 90°
> b) den Kosinussatz: [mm]|c|^{2}=|a|^{2}+|b|^{2}-2|a||b| cos\gamma[/mm]
> Dabei sind die Vektoren
> a; b; c diejenigen, die die Eckpunkte des Dreiecks
> verbinden, [mm]\gamma[/mm] ist der
> zwischen a und b eingeschlossene Winkel.
> Hallo!
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> Hier weis ich nicht, wie ich an diese Aufgabe ran gehen
> soll!
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> Soll ich mir Vektoren ausdenken und dann einfach in den
> Kosinussatz einsetzten?
Nein,den sollst du ja herleiten! du musst verwenden, dass es ein Dreieck ist also [mm] \vec{a}+\vec{b}=\vec{c} [/mm] und dann die Def. von Skalarprodukt!
genauso im Kreis, du musst verwenden, dass die Vektoren im Halbkreis sind!
Gruss leduart
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