Beweis durch vollständige Indu < Induktion < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Zeigen Sie:
[mm] \summe_{k=1}^{n}k^{4}= \bruch{1}{30}n(n+1)(2n+1)(3n^{2}+3n-1) [/mm] |
Vollständige Induktion:
ich habe nun Folgendes gemacht:
[mm] \summe_{k=1}^{n}k^{4}=0=\bruch{1}{30}*0
[/mm]
[mm] \summe_{k=1}^{n+1}k^{4}=\summe_{k=1}^{n}k^{4}+ (n+1)^{4}
[/mm]
= [mm] \bruch{1}{30}n(n+1)(2n+1)(3n^{2}+3n-1)+(n+1)^{4}
[/mm]
soo ab hier geht mein Problem los da ich nicht genau weiss wie ich das Ganze faktorisieren soll! Mein Ansatz:
= [mm] \bruch{1}{30}n(n+1)(2n+1)(3n^{2}+3n-1)+(n+1)+(n+1)+(n+1)+(n+1)
[/mm]
= [mm] \bruch{1}{30}(n+1)(n(2n+1)(3n^{2}+3n-1))+(n+1)+(n+1)+(n+1)
[/mm]
Ich habe das Gefühl dass das nicht ganz richtig ist daher benötige ich hier bitte etwas Hilfestellung! Vielen Dank
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:46 So 15.01.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
schreib zuerst auf, was du rauskriegen willst! (also die erwartete formel für n+1
dann zieh Faktoren, die schon stimmen raus.
dann zeig dass der Rest gleich ist.
gruss leduart
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Hi,
leider kann ich dir nicht ganz folgen, könntest du mir das bitte Schritt für Schritt erklären?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 14:07 So 15.01.2012 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
Bei Induktionsbweisen ist es macnhmal hilfreich, das Ziel hinzuschreiben, und weitestgehend zu vereinachen.
Also hier:
[mm] \bruch{1}{30}*\red{(}n\red{+1})*(\red{(}n\red{+1})+1)*(2\red{(}n\red{+1)}+1)*(3\red{(}n\red{+1)}^{2}+3\red{(}n\red{+1)}-1) [/mm]
Nun fange an.
$ [mm] \summe_{k=1}^{n+1}k^{4}$
[/mm]
$ [mm] =(n+1)^{4}+\summe_{k=1}^{n}k^{4}$
[/mm]
$ [mm] =(n+1)^{4}+\left[\bruch{1}{30}n(n+1)(2n+1)(3n^{2}+3n-1)\right] [/mm] $
Zeige durch Vereinfachen, dass diese Terme identisch sind.
Marius
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