"Beweis" e=1 < Komplexe Zahlen < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:29 Di 22.04.2008 | | Autor: | Eliza |
Hallo zusammen!
Ich hab hier eine interessante Folgerungskette, derzufolge e (also die Eulerzahl) gleich 1 ist. Natürlich ist mir klar, dass das nicht stimmt, aber mir ist nicht klar, wo der Fehler in der Argumentation liegt.
So lautet der "Beweis":
Es gilt [mm] $e^{2\pi i}=1$, [/mm] also auch [mm] $e^{2n\pi i}=1$ [/mm] für [mm] $n\in\IZ$. [/mm] Folglich [mm] $e^{1+2n\pi i}=1*e=e$ [/mm] und [mm] $e^{1+4n\pi i-4n^2\pi^2}=(e^{1+2n\pi i})^{1+2n\pi i}=e^{1+2n\pi i}=e$. [/mm] Wegen [mm] $e^{1+4n\pi i}=e$ [/mm] ergibt sich daraus [mm] $e^{-4n^2\pi^2}=1$, [/mm] also [mm] $1=e^{4n^2\pi^2}$ [/mm] und somit [mm] $e=1^{\br{1}{4n^2\pi^2}}=1$.
[/mm]
Nach meinem Verständnis müsste schon die Folgerung [mm] $e^{-4n^2\pi^2}=1$ [/mm] falsch sein, denn der Exponent ist reell und die e-Funktion ist im Reellen nur an der Stelle 0 gleich 1. Aber den Fehler in der Argumentation bis dahin finde ich nicht... Kann mir jemand von euch weiterhelfen?
Danke schonmal,
viele Grüße,
Eliza
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:02 Di 22.04.2008 | | Autor: | abakus |
> Hallo zusammen!
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> Ich hab hier eine interessante Folgerungskette, derzufolge
> e (also die Eulerzahl) gleich 1 ist. Natürlich ist mir
> klar, dass das nicht stimmt, aber mir ist nicht klar, wo
> der Fehler in der Argumentation liegt.
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> So lautet der "Beweis":
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> Es gilt [mm]e^{2\pi i}=1[/mm], also auch [mm]e^{2n\pi i}=1[/mm] für [mm]n\in\IZ[/mm].
> Folglich [mm]e^{1+2n\pi i}=1*e=e[/mm] und [mm]e^{1+4n\pi i-4n^2\pi^2}=(e^{1+2n\pi i})^{1+2n\pi i}=e^{1+2n\pi i}=e[/mm].
> Wegen [mm]e^{1+4n\pi i}=e[/mm] ergibt sich daraus [mm]e^{-4n^2\pi^2}=1[/mm],
> also [mm]1=e^{4n^2\pi^2}[/mm] und somit [mm]e=1^{\br{1}{4n^2\pi^2}}=1[/mm].
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> Nach meinem Verständnis müsste schon die Folgerung
> [mm]e^{-4n^2\pi^2}=1[/mm] falsch sein, denn der Exponent ist reell
> und die e-Funktion ist im Reellen nur an der Stelle 0
> gleich 1. Aber den Fehler in der Argumentation bis dahin
> finde ich nicht... Kann mir jemand von euch weiterhelfen?
>
> Danke schonmal,
> viele Grüße,
> Eliza
Wenn eine komplexe Zahl z den Betrag r und das Argument [mm] \phi [/mm] besitzt, so lautet die Exponentialform davon
[mm] z=e^{\ln r +i*\phi}.
[/mm]
In dem oben im Exponenten vorkommenden Term [mm] 1+4n\pi i-4n^2\pi^2 [/mm] lautet der Realteil [mm] 1-4n^2\pi^2 [/mm] . Das ist für n [mm] \ne [/mm] 0 garantiert negativ. also würde ln(r)<0 und damit r<1 gelten. Damit ist bereits unmöglich, dass [mm] e^{1+4n\pi i-4n^2\pi^2}=e [/mm] gelten könnte.
Viele Grüße
Abakus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:04 Di 22.04.2008 | | Autor: | Eliza |
Hallo Abakus!
Danke für deine schnelle Antwort. Das ist schonmal super, also muss der Fehler irgendwo in dieser Gleichungskette liegen, seh ich das richtig? Oder ist schon vorher was falsch? Welche dieser Aktionen darf man so nicht machen? Denn ansich sind das ja nur Potenzgesetze die da angewendet werden. Gelten die im Komplexen nicht oder nur teilweise?
Gruß Eliza
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:38 Di 22.04.2008 | | Autor: | SEcki |
> Gelten die im Komplexen nicht oder nur teilweise?
[m]exp(a*b)=exp(a)^b[/m] gilt nicht. Man muss nämlich erstmal [m]z^w[/m] für komplexe Zahlen defineiren - gar nicht so leicht, oder wie hast du das definiert?
SEcki
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 00:33 Mi 23.04.2008 | | Autor: | Eliza |
Hallo SEcki!
Du hast Recht, für [mm] $z^w$ [/mm] kenne ich keine Definition. Das wird dann wohl auch der Punkt sein, wo diese Argumentation in die Brüche geht. Danke für deine Antwort!
Grüße Eliza
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