Beweis einer Anschätzung < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 18:43 Mi 01.11.2006 | | Autor: | Foorbie |
Hallo!
Ich soll folgende Aufgabe lösen:
Seinen a1 ... an nicht negative reelle Zahlen. Man beweise für a:= (a1 + ... + an )/n die Anschätzung a1 * ...* an<= [mm] a^n.
[/mm]
Ich habe schon ganz viel mit Umformen und so weiter probiert, auch Induktion, komme aber überhaupt nicht weiter. Könnte mir jemand wenigstens einen Tipp geben, was für ein Beweisverfahren man anwenden muss?
Im Falle der Induktion habe ich insbesondere das Problem, dass das a bei a^(n+1) und das a bei [mm] a^n [/mm] ja unterschiedliche Zahlen sind, oder? einmal ist a(n+1) drin in der Summe und einmal nicht.
Vielen Dank!
Foorbie
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:42 Mi 01.11.2006 | | Autor: | Sashman |
Moin Foorbie!
Was du da zu zeigen hast wird im allgemeinen als die Ungleichung vom geometrischen und arithmetischen Mittel bezeichnet. Für sie gibt es zwei äquivalente Formulierungen.
1) [mm] $\wurzel[n]{a_1*a_2\dots*a_n}\le\frac{a_1+a_2+\dots+a_n}{n}$
[/mm]
oder wie bei dir in der Aufgabe
2) [mm] $a_1*a_2*\dots *a_n\le\big(\frac{a_1+\dots+a_n}{n}\big)^n$
[/mm]
natürlich wird verlangt das die [mm] $a_i\ge0$ [/mm] seien.
Nun schau dir mal den ![[]](/images/popup.gif) Link an der dich auf die entsprechende Seite bei Wiki führt.
MfG
Sashman
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:20 Di 07.11.2006 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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