Beweis einer Aussage < Aussagenlogik < Logik < Logik+Mengenlehre < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Zeigen oder widerlegen Sie jeweils. Für beliebige Mengen A,B,C,D gilt:
a) ( A [mm] \times [/mm] B ) [mm] \cap [/mm] ( C [mm] \times [/mm] D) = ( A [mm] \cap [/mm] C ) [mm] \times [/mm] ( B [mm] \cap [/mm] D)
b) ( A [mm] \times [/mm] B ) [mm] \cup [/mm] ( C [mm] \times [/mm] D) = ( A [mm] \cup [/mm] C ) [mm] \times [/mm] ( B [mm] \cup [/mm] D) |
Hi!
Okay, also ich hab die oben stehenden Aussagen zumindest greafisch für mich so darstellen können, dass ich mir sicher bin, dass a) wahr und b) falsch ist. Ich hab auch versucht, das ganze in der korrekten Schreibweise darzustellen, aber irgendwie komm ich damit noch nicht so ganz klar und steig an einer bestimmten Stelle immer aus.. So weit bin ich zumindest mit Aufgabenteil a) schon gekommen:
( A [mm] \times [/mm] B ) [mm] \cap [/mm] ( C [mm] \times [/mm] D) = ( A [mm] \cap [/mm] C ) [mm] \times [/mm] ( B [mm] \cap [/mm] D)
[mm] \gdw [/mm] ((a,b) [mm] \in [/mm] (A [mm] \times [/mm] B)) [mm] \cap [/mm] ((c,d) [mm] \in [/mm] (C [mm] \times [/mm] D)) = (a,c : [mm] \in [/mm] A [mm] \wedge \in [/mm] C) [mm] \times [/mm] (b,d : [mm] \in [/mm] B [mm] \wedge \in [/mm] D)
[mm] \gdw [/mm] (a,b) [mm] \in [/mm] (A [mm] \times [/mm] B) [mm] \wedge [/mm] (a,b) [mm] \in [/mm] (C [mm] \times [/mm] D) [mm] \wedge [/mm] (c,d) [mm] \in [/mm] (A [mm] \times [/mm] B) [mm] \wedge [/mm] (c,d) [mm] \in [/mm] (C [mm] \times [/mm] D) = (a,b) [mm] \in [/mm] A [mm] \wedge [/mm] B [mm] \wedge [/mm] C [mm] \wedge [/mm] D.....
Und da glaub ich schon wieder, dass das gar nicht stimmt und ich hab aber keine Ahnung wie es evtl. richtig gehen könnte... Hat vielleicht jemand 'nen kleinen Denkanstoß? :)
Grüße,
HoagsObject
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo HoagsObject und ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") ,
> Zeigen oder widerlegen Sie jeweils. Für beliebige Mengen
> A,B,C,D gilt:
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> a) ( A [mm]\times[/mm] B ) [mm]\cap[/mm] ( C [mm]\times[/mm] D) = ( A [mm]\cap[/mm] C ) [mm]\times[/mm] ( B [mm]\cap[/mm] D)
> b) ( A [mm]\times[/mm] B ) [mm]\cup[/mm] ( C [mm]\times[/mm] D) = ( A [mm]\cup[/mm] C ) [mm]\times[/mm] ( B [mm]\cup[/mm] D)
> Hi!
>
> Okay, also ich hab die oben stehenden Aussagen zumindest
> greafisch für mich so darstellen können, dass ich mir
> sicher bin, dass a) wahr und b) falsch ist. Ich hab auch
> versucht, das ganze in der korrekten Schreibweise
> darzustellen, aber irgendwie komm ich damit noch nicht so
> ganz klar und steig an einer bestimmten Stelle immer aus..
> So weit bin ich zumindest mit Aufgabenteil a) schon
> gekommen:
>
> ( A [mm]\times[/mm] B ) [mm]\cap[/mm] ( C [mm]\times[/mm] D) = ( A [mm]\cap[/mm] C ) [mm]\times[/mm] ( B [mm]\cap[/mm] D)
>
> [mm]\gdw[/mm] ((a,b) [mm]\in[/mm] (A [mm]\times[/mm] B)) [mm]\cap[/mm] ((c,d) [mm]\in[/mm] (C [mm]\times[/mm] D)) = (a,c : [mm]\in[/mm] A [mm]\wedge \in[/mm] C) [mm]\times[/mm] (b,d : [mm]\in[/mm] B [mm]\wedge \in[/mm] D)
??
Was soll das bedeuten?
Oben hast du eine Mengengleichheit, in dieser Zeile die Gleichheit von Aussagen? Das ist sinnfrei!
Statt "=" muss da doch "[mm]\gdw[/mm][mm]\gwd[/mm]" hin ...
>
> [mm]\gdw[/mm] (a,b) [mm]\in[/mm] (A [mm]\times[/mm] B) [mm]\wedge[/mm] (a,b) [mm]\in[/mm] (C [mm]\times[/mm] D)
> [mm]\wedge[/mm] (c,d) [mm]\in[/mm] (A [mm]\times[/mm] B) [mm]\wedge[/mm] (c,d) [mm]\in[/mm] (C [mm]\times[/mm] D)
> = (a,b) [mm]\in[/mm] A [mm]\wedge[/mm] B [mm]\wedge[/mm] C [mm]\wedge[/mm] D.....
>
> Und da glaub ich schon wieder, dass das gar nicht stimmt
> und ich hab aber keine Ahnung wie es evtl. richtig gehen
> könnte... Hat vielleicht jemand 'nen kleinen Denkanstoß?
> :)
Geh's mal so an:
Sei [mm](x,y)\in (A\times B) \ \cap \ (C\times D)[/mm]
[mm]\gdw (x,y)\in (A\times B) \ \wedge \ (x,y)\in (C\times D)[/mm] nach Definition der Schnittmenge
[mm]\gdw (x\in A \ \wedge y\in B) \ \wedge \ (x\in C \ \wedge \ y\in D)[/mm] nach Definition des kart. Prod.
[mm]\gdw (x\in A \ \wedge \ x\in C) \ \wedge \ (y\in B \ \wedge \ y\in D)[/mm] da [mm]\wedge[/mm] kommutativ ist.
Nun ist es nicht mehr weit ...
Überlege, wo du hinwillst und rechne entsprechend "zurück"
>
> Grüße,
> HoagsObject
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
Gruß
schachuzipus
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Hi und Danke für die Antwort! :)
> Geh's mal so an:
>
> Sei [mm](x,y)\in (A\times B) \ \cap \ (C\times D)[/mm]
>
> [mm]\gdw (x,y)\in (A\times B) \ \wedge \ (x,y)\in (C\times D)[/mm]
> nach Definition der Schnittmenge
>
> [mm]\gdw (x\in A \ \wedge y\in B) \ \wedge \ (x\in C \ \wedge \ y\in D)[/mm]
> nach Definition des kart. Prod.
>
> [mm]\gdw (x\in A \ \wedge \ x\in C) \ \wedge \ (y\in B \ \wedge \ y\in D)[/mm]
> da [mm]\wedge[/mm] kommutativ ist.
>
> Nun ist es nicht mehr weit ...
Okay, ja, das leuchtet mir ein.
Ich hab jetzt Mal so weiter gemacht:
[mm] \gdw [/mm] (x [mm] \in [/mm] (A [mm] \cap [/mm] C)) [mm] \wedge [/mm] (y [mm] \in [/mm] (B [mm] \cap [/mm] D))
[mm] \gdw [/mm] (x,y) [mm] \in [/mm] (A [mm] \cap [/mm] C) [mm] \times [/mm] (B [mm] \cap [/mm] D)
[mm] \gdw [/mm] (A [mm] \cap [/mm] C) [mm] \times [/mm] (B [mm] \cap [/mm] D)
Uuund das wäre ja das, was man ursprünglich zeigen sollte. Stimmt das so? Ich kommt mit der Notation von Mengen noch nicht so richtig klar...
Grüße,
HoagsObject
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Hallo nochmal,
> Hi und Danke für die Antwort! :)
>
> > Geh's mal so an:
> >
> > Sei [mm](x,y)\in (A\times B) \ \cap \ (C\times D)[/mm]
> >
> > [mm]\gdw (x,y)\in (A\times B) \ \wedge \ (x,y)\in (C\times D)[/mm]
> > nach Definition der Schnittmenge
> >
> > [mm]\gdw (x\in A \ \wedge y\in B) \ \wedge \ (x\in C \ \wedge \ y\in D)[/mm]
> > nach Definition des kart. Prod.
> >
> > [mm]\gdw (x\in A \ \wedge \ x\in C) \ \wedge \ (y\in B \ \wedge \ y\in D)[/mm]
> > da [mm]\wedge[/mm] kommutativ ist.
> >
> > Nun ist es nicht mehr weit ...
>
>
> Okay, ja, das leuchtet mir ein.
>
> Ich hab jetzt Mal so weiter gemacht:
>
> [mm]\gdw[/mm] (x [mm]\in[/mm] (A [mm]\cap[/mm] C)) [mm]\wedge[/mm] (y [mm]\in[/mm] (B [mm]\cap[/mm] D))
>
> [mm]\gdw[/mm] (x,y) [mm]\in[/mm] (A [mm]\cap[/mm] C) [mm]\times[/mm] (B [mm]\cap[/mm] D) ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> [mm]\gdw[/mm] (A [mm]\cap[/mm] C) [mm]\times[/mm] (B [mm]\cap[/mm] D) [mm] \ \red{= \ (A\times B) \ \cap \ (C\times D)}[/mm]
Denn [mm](x,y)[/mm] war beliebig aus [mm](A\times B) \ \cap \ (C\times D)[/mm] gewählt, die gemachten Äquivalenzaussagen gelten also für alle [mm](x,y)\in (A\times B) \ \cap \ (C\times D)[/mm]
>
> Uuund das wäre ja das, was man ursprünglich zeigen
> sollte. Stimmt das so?
Bis auf die letzte Zeile ja!
> Ich kommt mit der Notation von
> Mengen noch nicht so richtig klar...
Das kommt mit der Zeit, du musst immer aufpassen, ob du gerade auf der Mengenebene bist oder auf der Aussagenebene jonglierst.
Das sollte man tunlichst nicht durcheinander mischen bzw. richtig verknüpfen 
>
> Grüße,
> HoagsObject
>
LG
schachuzipus
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> Hallo nochmal,
>
>
> > Hi und Danke für die Antwort! :)
> >
> > > Geh's mal so an:
> > >
> > > Sei [mm](x,y)\in (A\times B) \ \cap \ (C\times D)[/mm]
> > >
> > > [mm]\gdw (x,y)\in (A\times B) \ \wedge \ (x,y)\in (C\times D)[/mm]
> > > nach Definition der Schnittmenge
> > >
> > > [mm]\gdw (x\in A \ \wedge y\in B) \ \wedge \ (x\in C \ \wedge \ y\in D)[/mm]
> > > nach Definition des kart. Prod.
> > >
> > > [mm]\gdw (x\in A \ \wedge \ x\in C) \ \wedge \ (y\in B \ \wedge \ y\in D)[/mm]
> > > da [mm]\wedge[/mm] kommutativ ist.
> > >
> > > Nun ist es nicht mehr weit ...
> >
> >
> > Okay, ja, das leuchtet mir ein.
> >
> > Ich hab jetzt Mal so weiter gemacht:
> >
> > [mm]\gdw[/mm] (x [mm]\in[/mm] (A [mm]\cap[/mm] C)) [mm]\wedge[/mm] (y [mm]\in[/mm] (B [mm]\cap[/mm] D))
> >
> > [mm]\gdw[/mm] (x,y) [mm]\in[/mm] (A [mm]\cap[/mm] C) [mm]\times[/mm] (B [mm]\cap[/mm] D)
> >
> > [mm]\gdw[/mm] (A [mm]\cap[/mm] C) [mm]\times[/mm] (B [mm]\cap[/mm] D) [mm]\ \red{= \ (A\times B) \ \cap \ (C\times D)}[/mm]
>
> Denn [mm](x,y)[/mm] war beliebig aus [mm](A\times B) \ \cap \ (C\times D)[/mm]
> gewählt, die gemachten Äquivalenzaussagen gelten also
> für alle [mm](x,y)\in (A\times B) \ \cap \ (C\times D)[/mm]
>
> >
> > Uuund das wäre ja das, was man ursprünglich zeigen
> > sollte. Stimmt das so?
>
> Bis auf die letzte Zeile ja!
Okay, also bedeutet das, die letzte Zeile stimmt MIT dem, was rot angefügt wurde oder NUR das rote? :D Nur das rote wäre ja wieder das, was anfangs auf der linken Seite stand.
>
> > Ich kommt mit der Notation von
> > Mengen noch nicht so richtig klar...
>
> Das kommt mit der Zeit, du musst immer aufpassen, ob du
> gerade auf der Mengenebene bist oder auf der Aussagenebene
> jonglierst.
>
> Das sollte man tunlichst nicht durcheinander mischen bzw.
> richtig verknüpfen
>
Ja.. das hab ich auch schon gemerkt. Da das aber grade in allen Vorlesungen gleichzeitig drankommt bin ich mir nie ganz sicher, wo jetzt gerade was gemacht wird.. :D
Grüße,
HoagsObject
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Hallo nochmal,
> > > [mm]\gdw[/mm] (A [mm]\cap[/mm] C) [mm]\times[/mm] (B [mm]\cap[/mm] D) [mm]\ \red{= \ (A\times B) \ \cap \ (C\times D)}[/mm]
>
>
> Okay, also bedeutet das, die letzte Zeile stimmt MIT dem,
> was rot angefügt wurde
Ja, die Aussage, dass die Mengen linkerhand und rechterhand gleich sind
> oder NUR das rote?
Das wäre keine Aussage, sondern nur eine Menge, das ergäbe also keinen Sinn - das war ja genau der Punkt, dessentwegen deine letzte Zeile falsch war
> :D Nur das rote
> wäre ja wieder das, was anfangs auf der linken Seite
> stand.
>
>
> >
> > > Ich kommt mit der Notation von
> > > Mengen noch nicht so richtig klar...
> >
> > Das kommt mit der Zeit, du musst immer aufpassen, ob du
> > gerade auf der Mengenebene bist oder auf der Aussagenebene
> > jonglierst.
> >
> > Das sollte man tunlichst nicht durcheinander mischen bzw.
> > richtig verknüpfen
> >
>
> Ja.. das hab ich auch schon gemerkt. Da das aber grade in
> allen Vorlesungen gleichzeitig drankommt bin ich mir nie
> ganz sicher, wo jetzt gerade was gemacht wird.. :D
Jo, das wird, da bin ich sicher, man muss sich etwas daran gewöhnen, dann geht das schon ...
Viel Erfolg weiterhin!
Ach ja, was meinst du denn zu (b)?
>
>
> Grüße,
> HoagsObject
Gruß
schachuzipus
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Danke für die Antwort !
Also zu b) .. Ich hab erstmal versucht , sie analog zu a) zu lösen ( will heißen ich hab die ganzen Zeichen einfach umgedreht ...) aber irgendwie bekomm ich dann wieder eine Übereinstimmung und ich bin ja eigentlich davon ausgegangen, dass b) nicht richtig ist... Irgendwie dachte ich, wenn ich a) verstanden habe verstehe ich sicher auch b) bzw. Kann es selbst lösen aber irgendwie...
Also in b) werden die beiden Kart. Prod. Ja vereinigt also muss (x,y) folglich in A x B ODER C x D liegen, richtig? Also:
(x,y) [mm] \in [/mm] (A [mm] \times [/mm] B) [mm] \vee [/mm] (x,y) [mm] \in [/mm] (C [mm] \times [/mm] D) ?
Wenn ich dann aber analog zu a) weitermache klappt's nicht .. Ist nun mein Ansatz falsch oder verlier ich mich unterwegs ? :D
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:08 Do 25.10.2012 | | Autor: | tobit09 |
Hallo HoagsObject,
du liegst völlig richtig mit der Vermutung, dass b) i.A. falsch ist. Suche also ein Gegenbeispiel, um b) zu widerlegen.
Viele Grüße
Tobias
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Hi, Danke für die Antwort!
Bedeutet das, dass ich den Mengen A,B,C und D einfach irgendwelche Elemente zuweisen kann um dann zu beweisen, dass die ursprüngliche Aussage nicht allgemein stimmen kann, da es zumindest diesen einen Fall gibt, in dem sie nicht zutrifft?
Grüße,
HoagsObject
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Hallo nochmal,
> Hi, Danke für die Antwort!
>
> Bedeutet das, dass ich den Mengen A,B,C und D einfach
> irgendwelche Elemente zuweisen kann um dann zu beweisen,
> dass die ursprüngliche Aussage nicht allgemein stimmen
> kann, da es zumindest diesen einen Fall gibt, in dem sie
> nicht zutrifft?
Jo, wähle dir (möglichst einfache) konkrete Mengen $A=...., B=...$ usw., so dass die Mengen linkerhand und rechterhand verschieden sind.
Probier's mal mit einelementigen Mengen ...
>
> Grüße,
> HoagsObject
Gruß
schachuzipus
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 10:00 Fr 26.10.2012 | | Autor: | fred97 |
> Hi, Danke für die Antwort!
>
> Bedeutet das, dass ich den Mengen A,B,C und D einfach
> irgendwelche Elemente zuweisen kann um dann zu beweisen,
> dass die ursprüngliche Aussage nicht allgemein stimmen
> kann, da es zumindest diesen einen Fall gibt, in dem sie
> nicht zutrifft?
Wähle mal A = [mm] \emptyset. [/mm] Dann springt Dir was ins Auge
FRED
>
> Grüße,
> HoagsObject
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Hi, Danke für die Antworten!
Also bei der leeren Menge ist mir jetzt nicht direkt was aufgefallen... :D
Ich hab jetzt mal die Mengen so gewählt: A ={0}, B={1}, C={2}, D={3}
Das hab ich dann jeweils eingesetzt:
(A [mm] \times [/mm] B) [mm] \cup [/mm] (C [mm] \times [/mm] D)
[mm] \gdw [/mm] ({0} [mm] \times [/mm] {1}) [mm] \cup [/mm] ({2} [mm] \times [/mm] {3})
[mm] \gdw [/mm] {(0,1),(1,0)} [mm] \cup [/mm] {(2,3),(3,2)}
[mm] \gdw [/mm] {(0,1),(1,0),(2,3),(3,2)}
Für (A [mm] \cup [/mm] B) [mm] \times [/mm] (C [mm] \cup [/mm] D)
[mm] \gdw [/mm] ({0} [mm] \cup [/mm] {1}) [mm] \times [/mm] ({2} [mm] \cup [/mm] {3})
[mm] \gdw [/mm] ({0,2}) [mm] \times [/mm] ({1,3})
[mm] \gdw [/mm] {(0,1),(0,3), (2,1), (2,3), (1,0), (1,2),...}
Was ja offensichtlich nicht das gleiche ist wie linkerhand..
Kann man das so schreiben bzw. reicht das so als Gegenbeweis?
Grüße,
HoagsObject
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 10:44 Fr 26.10.2012 | | Autor: | tobit09 |
> Ich hab jetzt mal die Mengen so gewählt: A ={0}, B={1},
> C={2}, D={3}
>
> Das hab ich dann jeweils eingesetzt:
>
> (A [mm]\times[/mm] B) [mm]\cup[/mm] (C [mm]\times[/mm] D)
> [mm]\gdw[/mm] ({0} [mm]\times[/mm] {1}) [mm]\cup[/mm] ({2} [mm]\times[/mm] {3})
Du vergleichst in den beiden Zeilen Mengen, nicht Aussagen. Also muss es "=" statt [mm] "$\gdw$" [/mm] heißen.
> [mm]\gdw[/mm] {(0,1),(1,0)} [mm]\cup[/mm] {(2,3),(3,2)}
[mm] $\{0\}\times\{1\}$ [/mm] enthält nur (0,1) und nicht (1,0). Analoges gilt für [mm] $\{2\}\times\{3\}$.
[/mm]
> [mm]\gdw[/mm] {(0,1),(1,0),(2,3),(3,2)}
>
> Für (A [mm]\cup[/mm] B) [mm]\times[/mm] (C [mm]\cup[/mm] D)
> [mm]\gdw[/mm] ({0} [mm]\cup[/mm] {1}) [mm]\times[/mm] ({2} [mm]\cup[/mm] {3})
> [mm]\gdw[/mm] ({0,2}) [mm]\times[/mm] ({1,3})
Hier müsste es [mm] $\{0,1\}\times\{2,3\}$ [/mm] heißen.
> [mm]\gdw[/mm] {(0,1),(0,3), (2,1), (2,3), (1,0), (1,2),...}
Gleicher Fehler wie oben.
> Kann man das so schreiben bzw. reicht das so als
> Gegenbeweis?
Abgesehen von den Fehlern reicht es, in diesem Stil die Allgemeingültigkeit der Gleichheit aus der Aufgabenstellung zu widerlegen.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 10:53 Fr 26.10.2012 | | Autor: | fred97 |
> Hi, Danke für die Antworten!
>
> Also bei der leeren Menge ist mir jetzt nicht direkt was
> aufgefallen... :D
Wenn A die leere Menge ist, so lautet b):
$C [mm] \times [/mm] D= C [mm] \times [/mm] (B [mm] \cup [/mm] D)$.
Ist B keine Teilmenge von D , so ist dies falsch.
FRED
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