Beweis einer Aussage (Menge) < Mengenlehre < Logik+Mengenlehre < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:17 Mo 21.04.2008 | | Autor: | sawa1987 |
| Aufgabe | Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt
X und Y seien Mengen, und f,g:X->Y seien Abbildungen. Beweisen Sie: Wenn
f^-1(T) C g^-1(T) für jedes T C Y gilt, dann ist f = g. |
Hallo, ich bin am Verzweifeln, ich habe mich jetzt näher mit der Theorie über Mengen befasst, dennoch fällt es mir schwer Aufgaben wie die obige zu lösen. Bei den einfachen Aussagen schaff ich es noch so gerade.
Meine Frage wäre nur ob jemand mir einen Tip geben könnte wie ich daran herangehen könnte.
Bis jetzt hab ich folgendes Versucht:
y=f(x) für ein x∈f-1(T). Nach Definition gilt dann für dieses x: f(x)∈T, also y=f(x)∈T.
Aber dann weiss ich nicht mehr weiter
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:33 Mo 21.04.2008 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt
> X und Y seien Mengen, und f,g:X->Y seien Abbildungen.
> Beweisen Sie: Wenn f^-1(T) C g^-1(T)
> für jedes T C Y gilt, dann ist f = g.
> Hallo, ich bin am Verzweifeln, ich habe mich jetzt näher
> mit der Theorie über Mengen befasst, dennoch fällt es mir
> schwer Aufgaben wie die obige zu lösen. Bei den einfachen
> Aussagen schaff ich es noch so gerade.
>
> Meine Frage wäre nur ob jemand mir einen Tip geben könnte
> wie ich daran herangehen könnte.
> Bis jetzt hab ich folgendes Versucht:
> y=f(x) für ein x∈f-1(T). Nach Definition gilt dann
> für dieses x: f(x)∈T, also y=f(x)∈T.
> Aber dann weiss ich nicht mehr weiter
wann sind denn zwei Abbildungen $f,g: X [mm] \to [/mm] Y$ gleich? Sie sind genau dann gleich, wenn für jedes $x [mm] \in [/mm] X$ gilt: $f(x)=g(x)$.
Jetzt betrachte mal für festes $y [mm] \in [/mm] Y$ die Menge [mm] $T_y:=\{y\}$. [/mm] Dann gilt:
[mm] $(\*)$ [/mm] $X= [mm] \bigcup_{y \in Y} f^{-1}(T_y)$ [/mm] (Warum?)
Zu zeigen hast Du nun:
Ist $x [mm] \in [/mm] X$ beliebig, aber fest, so folgt $f(x)=g(x)$.
Das machst Du so:
Sei $x [mm] \in [/mm] X$ beliebig, aber fest. Dann gibt es nach [mm] $(\*)$ [/mm] ein $y [mm] \in [/mm] Y$ mit $x [mm] \in f^{-1}(T_y)=f^{-1}(\{y\})$, [/mm] d.h. [mm] $\black{f(x)=y}$. [/mm] Nach Voraussetzung gilt aber insbesondere für unser $x [mm] \in [/mm] X$, dass [mm] $f^{-1}(T_y) \subset g^{-1}(T_y)$ [/mm] und daher folgt auch $g(x) [mm] \in T_y$ [/mm] (Warum?), also...
Gruß,
Marcel
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