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| Aufgabe | Für [mm]n\in\IN[/mm] zeige man durch vollständige Induktion:
[mm]a_n_-_1[/mm][mm]a_n_+_1[/mm]-[mm]a^2_n[/mm]=[mm](-1)^n[/mm]
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Guten morgen,
ich habe schon festgestellt, dass die Formel stimmt, wenn man es mit paar kleinen Zahlen ausprobiert. Induktionsschritt habe ich auch angewendet, also n+1 eingesetzt für n. Leider weiß ich dann nicht mehr weiter bzw. weiß nicht wie man die Formel: [mm]a_n_+_2a_n-a^2_n_+_1=(-1)(-1)^n[/mm] weiter behandelt.
Für Ideen und Hilfe wäre ich sehr dankbar.
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> Für [mm]n\in\IN[/mm] zeige man durch vollständige Induktion:
> [mm]a_n_-_1[/mm][mm]a_n_+_1[/mm] - [mm]a^2_n[/mm]=[mm](-1)^n[/mm]
> Guten morgen,
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> ich habe schon festgestellt, dass die Formel stimmt, wenn
> man es mit paar kleinen Zahlen ausprobiert.
> Induktionsschritt habe ich auch angewendet, also n+1
> eingesetzt für n. Leider weiß ich dann nicht mehr weiter
> bzw. weiß nicht wie man die Formel:
> [mm]a_n_+_2a_n-a^2_n_+_1=(-1)(-1)^n[/mm] weiter behandelt.
Hallo,
vorweg: man kann Deiner Überschrift zwar entnehmen, daß es um Fibonaccizahlen geht, aber wäre ist trotzdem sinnvoll,
würdest Du die Voraussetzungen zur Aufgabenstellung mitliefern, hier also die Def. der Fibonaccifolge.
[mm] a_0:=0
[/mm]
[mm] a_1:=1
[/mm]
[mm] a_{n+1}:=a_{n}+a_{n-1}.
[/mm]
(Wenn Deine geringfügig anders ist, ist das kein Drama, das Wesentliche siehst Du auch so.)
Dir geht es um den Induktionsschluß.
Hier ist zu zeigen:
[mm] a_na_{n+2} [/mm] - [mm] a_{n+1}^2=(-1)^{n+1}.
[/mm]
Beweis:
es ist
[mm] a_na_{n+2} [/mm] - [mm] a_{n+1}^2= [/mm] ...
Nun mußt Du so lange umformen, bis Du am Ende [mm] (-1)^{n+1} [/mm] dastehen hast, und unterwegs muß die Induktionsvoraussetzung verwendet werden.
Du solltest an dieser Stelle zunächst die Rekursion für [mm] a_{n+2} [/mm] verwenden, also
[mm] ....=a_n*( a_{n+1}+a_n)- a_{n+1}^2
[/mm]
= ...
Gruß v. Angela
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