Beweis einer Gleichung < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:31 Sa 30.10.2004 | | Autor: | zzm |
Hi,
ich habe gerade schwer mit der folgenden Aufgabe zu kämpfen und würde mich über Tips bzw. Ansätze freuen. Habe bisher mit vollst. Induktion und Umformungen rumprobiert, aber es wird nur komplizierter statt leichter:
[mm] \summe_{i=0}^{n}\bruch{(-1)^k}{a+k}\vektor{n \\ k}=\bruch{n!}{(a+n)(a+n-1)...(a+1)a}
[/mm]
Vielen Dank für jeden Tip, Gruß,
Michael
-------
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:19 Sa 30.10.2004 | | Autor: | Clemens |
Hallo Michael!
Ich definiere die beiden Folgenscharen
[mm] f1_{a}(n):= \summe_{k=0}^{n} \bruch{(-1)^{k}}{a+k} \vektor{n \\ k}
[/mm]
[mm] f2_{a}(n):= \bruch{n!}{(a+n)(a+n-1)...a}
[/mm]
Nun gilt [mm] f1_{a}(0) [/mm] = [mm] \bruch{1}{a} [/mm] = [mm] f2_{a}(0).
[/mm]
Ich zeige nun die Gleichheit der beiden Folgen, indem ich zeige, dass sie beide der Rekursionsformel [mm] f_{a}(n+1) [/mm] = [mm] f_{a}(n) [/mm] - [mm] f_{a+1}(n) [/mm] genügen:
Zu f1
[mm] f_{a}(n) [/mm] - [mm] f_{a+1}(n)
[/mm]
= [mm] \summe_{k=0}^{n} \bruch{(-1)^{k}}{a+k} \vektor{n \\ k} [/mm] - [mm] \summe_{k=0}^{n} \bruch{(-1)^{k}}{a+1+k} \vektor{n \\ k}
[/mm]
= [mm] \summe_{k=0}^{n} \bruch{(-1)^{k}}{a+k} \vektor{n \\ k} [/mm] + [mm] \summe_{k=0}^{n} \bruch{(-1)^{k+1}}{a+1+k} \vektor{n \\ k}
[/mm]
= [mm] \summe_{k=0}^{n} \bruch{(-1)^{k}}{a+k} \vektor{n \\ k} [/mm] + [mm] \summe_{k=1}^{n+1} \bruch{(-1)^{k}}{a+k} \vektor{n \\ k-1}
[/mm]
= [mm] \summe_{k=0}^{n+1} \bruch{(-1)^{k}}{a+k} \vektor{n \\ k} [/mm] + [mm] \summe_{k=0}^{n+1} \bruch{(-1)^{k}}{a+k} \vektor{n \\ k-1}
[/mm]
= [mm] \summe_{k=0}^{n+1} \bruch{(-1)^{k}}{a+k}( \vektor{n \\ k} [/mm] + [mm] \vektor{n \\ k-1})
[/mm]
= [mm] \summe_{k=0}^{n+1} \bruch{(-1)^{k}}{a+k} \vektor{n+1 \\ k}
[/mm]
[mm] =f_{a}(n+1)
[/mm]
Beim vierten Gleichheitszeichen habe ich ausgenutzt, dass [mm] \vektor{n \\ n+1} [/mm] = 0 und dass [mm] \vektor{n \\ -1} [/mm] = 0.
Beim sechsten Gleichheitszeichen habe ich ausgenutzt, dass [mm] \vektor{n \\ k-1} [/mm] + [mm] \vektor{n \\ k} [/mm] = [mm] \vektor{n+1 \\ k}.
[/mm]
Zu f2
[mm] f2_{a}(n) [/mm] - [mm] f2_{a+1}(n)
[/mm]
= [mm] \bruch{n!}{(a+n)...a} [/mm] - [mm] \bruch{n!}{(a+1+n)...(a+1)}
[/mm]
= [mm] \bruch{(a+n+1)n! - a*n!}{(a+n+1)(a+n)...(a+1)a}
[/mm]
= [mm] \bruch{(n+1)*n!}{(a+n+1)...a}
[/mm]
= [mm] \bruch{(n+1)!}{(a+(n+1))...(a)}
[/mm]
[mm] =f2_{a}(n+1)
[/mm]
Da die beiden Folgenscharen die gleichen "Startwerte" und die gleiche Rekursionsformel haben, sind sie gleich.
Gruß Clemens
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:17 So 31.10.2004 | | Autor: | zzm |
Vielen Dank für die Lösungshinweise.
Eine Frage habe ich noch:
Wie bist du darauf gekommen, dass beide Folgenscharen dieser speziellen Rekursionsformel genügen???
Ist das öfter der Fall bei solchen Aufgaben?
Gruß,
Michael
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 18:55 So 31.10.2004 | | Autor: | Clemens |
Hallo!
Das war ein reiner Glückstreffer. Ich habe einfach ohne Plan mal [mm] f1_{a}(n+1) [/mm] - [mm] f1_{a}(n) [/mm] ausgerechnet, um eine Gesetzmäßigkeit zu finden. Da habe ich es dann gesehen und sofort vermutet, dass man diese Formel für f2 leicht beweisen kann.
Die Mathematik wäre ja auch langweilig, wenn man bei jeder Aufgabenstellung schon wüsste, wie der Beweis auszusehen hat.
Liebe Grüße
Clemens
|
|
|
|
