Beweis einer Größer-Relation < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Die Behauptung für [mm] \{a,p,q\}\in\IN [/mm] , die gezeigt werden soll, lautet:
Ist q>p, dann gilt: [mm] \bruch{p+a}{q+a} [/mm] > [mm] \bruch{p}{q} [/mm] |
Ich möchte mathematisch exakt beweisen, dass jeder echte Bruch größer wird, wenn ich zu Zähler und Nenner dieselbe natürliche Zahl hinzuzähle, also beispielsweise:
[mm] \bruch{5+2}{7+2} [/mm] > [mm] \bruch{5}{7}
[/mm]
Ich komme bei meiner Beweisführung leider immer zu dem Ergebnis, dass die Größer-Relation gilt, wenn q>p ist, was ich eigentlich vorausgesetzt habe. Begehe ich hier einen Zirkelschluss?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo sackpower, ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
Es ist leichter zu sehen, worauf Du Dich beziehst, wenn Du die Rechnung mit einstellst.
In diesem Fall ist die aber leicht, und in der Tat ergibt sich nach ganz wenigen Umformungen ja wieder die Voraussetzung.
Das ist kein Zirkelschluss, da die Umformung die Voraussetzung q>p ja gar nicht benötigt hat. Das ist nur eben ihr Ergebnis.
Du hast damit also gezeigt, dass die beiden Aussagen äquivalent sind: Beweis erbracht.
Grüße
reverend
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:52 Di 22.06.2010 | | Autor: | pokermoe |
Hi
Wenn ich dich richtig verstanden habe , dann formst du die ungl.
um und kommst auf die Voraussetzung.
Überlege mal ob du einfach die umgekehrten Umformungen machen kannst und den Beweis "von hinten nach vorne " lesen kannst.
Gruß
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Hallo,
nur noch eine Bemerkung:
[mm] $\frac{p+a}{q+a} [/mm] = [mm] 1-\frac{q-p}{q+a} [/mm] > 1 - [mm] \frac{q-p}{q} [/mm] = [mm] \frac{p}{q}$
[/mm]
(Nenner wird kleiner (a > 0), also wird der Bruch größer und 1-Bruch wird kleiner)
Grüße,
Stefan
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