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Hallo!
Eine Aufgabe lautet wie folgt:
Für die Potenzsummen [mm] S_{n}^{p} [/mm] := [mm] 1^{p}+2^{p}+3^{p}+...+n^{p}
[/mm]
beweise man folgende Identität:
[mm] (p+1)S_{n}^{p}+\vektor{p+1 \\ 2}S_{n}^{p-1}+\vektor{p+1 \\ 3}S_{n}^{p-2}+...+S_{n}^{0}=(n+1)^{p+1}-1
[/mm]
Nun habe ich es erst mittel vollständiger Induktion und der Umwandlung von (n+1)^(p+1) in eine Binomialentwicklung versucht, bin daran allerdings gescheitert.
Als Lösungshinweis wird nun angegeben:
Für k=1,2,...,n wende man auf (k+1)^(p+1) die Binomialentwicklung an und addiere die entstehenden Indentitäten.
Das Buch schlägt, denke ich, doch also vor, ich solle zeigen, dass gilt:
[mm] \summe_{k=1}^{n}(p+1)S_{k}^{p}+\vektor{p+1 \\ 2}S_{k}^{p-1}+\vektor{p+1 \\ 3}S_{k}^{p-2}+...+S_{k}^{0}=\summe_{k=1}^{n}(k+1)^{p+1}-1
[/mm]
d.h.
[mm] \summe_{k=1}^{n}(p+1)S_{k}^{p}+\vektor{p+1 \\ 2}S_{k}^{p-1}+\vektor{p+1 \\ 3}S_{k}^{p-2}+...+S_{k}^{0}=\summe_{k=1}^{n}\vektor{p+1 \\ 1}k^1+\vektor{p+1 \\ 2}k^2+...+\vektor{p+1 \\ p}k^p+\vektor{p+1 \\ p+1}k^{p+1}
[/mm]
Ich verstehe hier aber insbesondere nicht, was es mir bringen soll, hier Summen zu verwenden.
Hat hier vielleicht jemand eine Idee?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:21 Do 11.09.2008 | | Autor: | pelzig |
Habe zwar keine Idee wie man es beweist aber, beachte dass [mm] $(n+1)^{p+1}-1=\sum_{k=0}^p (n+1)^k$ [/mm] ist. Vielleicht nützt das ja was.
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Ich habe als Beispiel einmal den Fall mit n=5 und p=3
konkret durchgespielt. Insgesamt hat man ja eine Summe
von Summen. Wenn man die einzelnen Summanden in
Matrixform darstellt (p+1 Zeilen, n Spalten), dann kann
man die Gesamtsumme ermitteln, indem man zuerst die
Zeilensummen bildet und dann diese addiert, oder umge-
kehrt: Spaltensummen bilden und dann diese addieren.
Wenn man das hier tut, kommt man, wenn ich mich
nicht irre, genau zu den Summen, für welche pelzig
schon eine Formel angegeben hat.
LG al-Chwarizmi
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Wenn man die einzelnen Summanden in
> Matrixform darstellt (p+1 Zeilen, n Spalten)
Aber soviele Zeilen hat doch nur der erste Summand, oder?
Außerdem wüsste ich jetzt nicht, wie ich allgemein diese "Summe aus Summen" so zusammenfassen kann, dass ich auf Pelzigs Darstellung der rechten Seite kommen.
Das einzige, was mir zur Zusammenfassung der linken Seite einfällt, ist das gilt:
[mm] (p+1)S_{n}^{p}+\vektor{p+1 \\ 2}S_{n}^{p-1}+\vektor{p+1 \\ 3}S_{n}^{p-2}+...+S_{n}^{0}=\summe_{i=1}^{n}(p+1)*i^p+\vektor{p+1 \\ 2}*i^{p-1}+...+\vektor{p+1 \\ p+1}*k^{p-p}
[/mm]
Aber ich wüsste auch nicht, wie mich das weiterbringen soll...
Ich habe übrigens folgenden Link gefunden, indem die selbe Aufgabenstellung bereits diskutiert wurde:
![[]](/images/popup.gif) http://www.matheboard.de/archive/37187/thread.html
Allerdings, finde ich das, was Arthur Dent da schreibt nicht ganz richtig, oder wie seht ihr das?
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>> Ich verstehe hier aber insbesondere nicht, was es mir bringen soll, hier Summen zu verwenden.
Naja, eigentlich geht es hier ja nur um Summen ... 
Morgen Hermann,
also mal von vorn:
Bezeichnen wir die Summe der linken Seite mit Sigma, also:
Sigma = [mm](p+1)S_{n}^{p}+\vektor{p+1 \\ 2}S_{n}^{p-1}+\vektor{p+1 \\ 3}S_{n}^{p-2}+...+S_{n}^{0}[/mm]
Die Binomialentwicklung für [mm] (k+1)^{p+1} [/mm] lautet:
[mm] (k+1)^{p+1}=\summe_{j=0}^{p+1}{\vektor{p+1\\j}*k^j*1^{p+1-j}}=\summe_{j=0}^{p+1}{\vektor{p+1\\j}*k^j}
[/mm]
Wie vorgeschlagen addieren wir diese für [mm] k\in \{1,2, ... , n\} [/mm] und
erhalten so eine Doppelsumme, die ich Omega nenne:
Omega = [mm] \summe_{k=1}^{n}(k+1)^{p+1}= \summe_{k=1}^{n}\summe_{j=0}^{p+1}{\vektor{p+1\\j}*k^j}
[/mm]
Nun darf man die Reihenfolge der Summationen vertauschen
(das meinte ich damit, dass man zuerst Spaltensummen statt
Zeilensummen bestimmen könne):
Omega = [mm] \summe_{k=1}^{n}(k+1)^{p+1}= \summe_{j=0}^{p+1}\summe_{k=1}^{n}{\vektor{p+1\\j}*k^j}
[/mm]
Da der vorkommende Binomialkoeffizient unabhängig vom
Summationsindex k ist, darf man ihn vor das innere
Summationszeichen setzen (Distributivgesetz !):
Omega = [mm] \summe_{k=1}^{n}(k+1)^{p+1}= \summe_{j=0}^{p+1}\vektor{p+1\\j}*\summe_{k=1}^{n}{k^j}
[/mm]
Die innere Summe ist definitionsgemäss gleich [mm] S_{n}^{j} [/mm] , also
haben wir:
Omega = [mm] \summe_{k=1}^{n}(k+1)^{p+1}= \summe_{j=0}^{p+1}\vektor{p+1\\j}*S_{n}^{j}
[/mm]
Ausgeschrieben:
Omega = [m]\vektor{p+1\\0}*S_{n}^{0}+\vektor{p+1\\1}*S_{n}^{1}+\vektor{p+1\\2}*S_{n}^{2}+ ... +\vektor{p+1\\p-1}*S_{n}^{p-1}+\vektor{p+1\\p}*S_{n}^{p}+\vektor{p+1\\p+1}*S_{n}^{p+1}[/m]
Wegen der Symmetrie der Binomialkoeffizienten, also
weil [mm] \vektor{p+1\\j}=\vektor{p+1\\p+1-j} [/mm] und weil [mm] \vektor{p+1\\0}=1 [/mm] ,
kann man dies auch so schreiben:
Omega = [m]\underbrace{ S_{n}^{0}+\vektor{p+1\\p}*S_{n}^{1}+\vektor{p+1\\p-1}*S_{n}^{2}+ ... +\vektor{p+1\\2}*S_{n}^{p-1}+\vektor{p+1\\1}*S_{n}^{p}}_{Sigma}\ +\ S_{n}^{p+1} [/m]
Es folgt also:
Sigma = Omega - [mm] S_{n}^{p+1} [/mm] = [mm] \summe_{k=1}^{n}{(k+1)^{p+1}}-\summe_{k=1}^{n}{k^{p+1}}
[/mm]
= [mm] \summe_{k=2}^{n+1}{k^{p+1}}-\summe_{k=1}^{n}{k^{p+1}}
[/mm]
= [mm] (n+1)^{p+1} [/mm] - [mm] 1^{p+1} [/mm] = [mm] (n+1)^{p+1} [/mm] - 1 Q.E.D.
![[hut]](/images/smileys/hut.gif "[hut]") Al-Chwarizmi
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(Korrektur) oberflächlich richtig  | | Datum: | 09:04 Fr 12.09.2008 | | Autor: | pelzig |
Hübsch... sieht ja doch recht einfach aus ![[happy]](/images/smileys/happy.gif "[happy]")
Ob es mit Induktion noch schneller geht?
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> Hübsch... sieht ja doch recht einfach aus
> Ob es mit Induktion noch schneller geht?
Die Rechnung wurde schon etwas länger als ich
zuerst gedacht hatte - ich habe zwar alles recht
ausführlich dargestellt, dank copy and paste ist
das ja aber kein Hexenwerk.
Induktionsbeweis: würdest du denn Induktion
nach n oder nach p versuchen ?
LG al-Chw.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:56 Fr 12.09.2008 | | Autor: | pelzig |
Also es geht auch mit Induktion über $n$. Dazu habe ich die Behauptung erstmal schöner aufgeschrieben, d.h. habe die Symmetrie der Binomialkoeffizienten benutzt, hat Muhammad (ich nehm dich mal beim Vornamen, den kann ich wenigstens aussprechen ) ja auch gemacht. Zu zeigen ist nun:
[mm] $\sum_{k=0}^{p-1}\binom{p}{k}s_n^k=(n+1)^p-1$.
[/mm]
Beweis:
$n=1$:
[mm]\sum_{k=0}^{p-1}\binom{p}{k}s_1^k=\sum_{k=0}^{p-1}\binom{p}{k}=\left(\sum_{k=0}^{p}\binom{p}{k}\right)-1=(1+1)^p -1[/mm]
[mm] $n-1\rightarrow [/mm] n$:
[mm]\sum_{k=0}^{p-1}\binom{p}{k}s_n^k=\sum_{k=0}^{p-1}\binom{p}{k}\left(s_{n-1}^k+n^k\right)=\sum_{k=0}^{p-1}\binom{p}{k}s_{n-1}^k+\sum_{k=0}^{p-1}\binom{p}{k}n^k\stackrel{IV}{=}n^p-1+\sum_{k=0}^{p-1}\binom{p}{k}n^k=\left(\sum_{k=0}^p\binom{p}{k}n^k\right)-1=(n+1)^p-1[/mm]
Gruß, Robert
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:03 Fr 12.09.2008 | | Autor: | Bit2_Gosu |
ja super, wurde die Identität (die übrigens angeblich von Pascal entdeckt wurde !!!! (!) ) doch noch hier nachgewiesen.
Man muss einfach nur die Symmetrie der Binomialkoeffizienten bedenken, das habe ich am Anfang nicht getan. Wenn man dann über vollständige Induktion geht ist es kein Problem.
Wenn mans nur über Thermumformungen probiert muss man noch auf die Idee kommen, vor die rechte Seite ein Summenzeichen zu setzen, und so die linke Seite, die sich als Summe von Summen darstellen lässt, darzustellen. Und das finde ich schon nicht so selbstverständlich, aber dazu gibt uns das Buch ja einen Tipp.
Vielen Dank für eure Beweise!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:30 Fr 12.09.2008 | | Autor: | pelzig |
> Wenn mans nur über Thermumformungen probiert muss man noch
> auf die Idee kommen, vor die rechte Seite ein Summenzeichen
> zu setzen, und so die linke Seite, die sich als Summe von
> Summen darstellen lässt, darzustellen. Und das finde ich
> schon nicht so selbstverständlich
Also ich beschäftige mich jetzt seit etwa einem Jahr intensiver mit Mathe, und ich habe eigentlich festgestellt dass es IMMER besser ist solche Ausdrücke als Summe zu schreiben. Im ersten Moment ist es sicher gewöhnungsbedürftig, da sich die bekannten Rechenregeln wie Distributivgesetz und Assoziativgesetz dann etwas anders verhalten. Man merkt das daran, dass man dann dazu neigt, die Summe doch nochmal explizit mit der $...$-Schreibweise hinzuschreiben und dann damit rechnet. Aber wenn man sich damit arrangiert hat, stellt man fest dass diese Schreibweise nicht nur kürzer ist, sondern die wesentliche Struktur des Terms einfach viel besser erfasst. Viele sonst komplizierte Rechnungen sind damit viel weniger fehleranfällig - das kann man gar nicht hoch genug bewerten. Insofern ist es sehr natürlich, dass jemand, der sich ne Weile mit der Materie beschäftigt hat, versucht solche Ausdrücke unter ein Summenzeichen zu zwingen.
Nachteile hat diese Schreibweise eigentlich nur bei komplizierteren Umordnungen, aber die sind auch in der $...$-Schreibweise meistens nicht einfacher.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:17 Fr 12.09.2008 | | Autor: | Bit2_Gosu |
ich meinte eigentlich nur, dass man vor [mm] (n+1)^{p+1}-1 [/mm] ein Summenzeichen setzt und den entstehenden Ausdruck dann so umformt, dass "die linke Seite entsteht".
Ich finde Summenzeichen auch klasse, weil ich mein Blatt gerne senkrecht lege :P
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