Beweis einer Induktion < Induktion < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:32 Sa 24.10.2009 | | Autor: | nawu9539 |
Guten Abend,
bin schon die ganze Zeit am Grübeln bei der folgenden Aufgabe (das soll immer im folgenden hoch 1/2 heißen...):
[mm] n^1/2 [/mm] + (n+1)^(-1/2) > [mm] (n+1)^1/2
[/mm]
Man soll die Gleichung vereinfachen...
[ [mm] (n^1/2)/(n^1/2) [/mm] ] + [1 / [mm] (n+1)^1/2] >=(n+1)^1/2
[/mm]
ergibt:
( 1 + [mm] [(1*n^1/2)/ (n+1)^1/2] >=(n+1)^1/2 [/mm] und wenn man dann minus 1 nimmt kommt
dann:
[mm] [(n^1/2)/(n+1)^1/2]>= (n+1)^1/2 [/mm] - 1 dann mal [mm] (n+1)^1/2 [/mm] dadurch wird aus dem größer gleich ein kleiner gleich:
[mm] n^1/2 [/mm] <= (n+1) - [mm] (n+1)^1/2
[/mm]
dann Wurzeln drauß machen:
[mm] Wurzel(n^1/2) [/mm] <= (n+1) - Wurzel(n+1)
das wäre mein Ergebnis dann...
Könnte jemand vielleicht mir nen Denkanstoß geben oder vielleicht sagen, wie man diese Aufgabe einfacher lösen bzw. vereinfach kann.
Beste Grüße
Ich habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen Internetseiten gestellt:
[http://www.uni-protokolle.de/foren/viewt/247615,0.html?sid=35142370a798a14c1f79341809374d9f]
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> Guten Abend,
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> bin schon die ganze Zeit am Grübeln bei der folgenden
> Aufgabe (das soll immer im folgenden hoch 1/2 heißen...):
> [mm]n^1/2[/mm] + (n+1)^(-1/2) > [mm](n+1)^1/2[/mm]
> Man soll die Gleichung vereinfachen...
>
> [ [mm](n^1/2)/(n^1/2)[/mm] ] + [1 / [mm](n+1)^1/2] >=(n+1)^1/2[/mm]
> ergibt:
> ( 1 + [mm][(1*n^1/2)/ (n+1)^1/2] >=(n+1)^1/2[/mm] und wenn man dann
> minus 1 nimmt kommt
> dann:
> [mm][(n^1/2)/(n+1)^1/2]>= (n+1)^1/2[/mm] - 1 dann mal [mm](n+1)^1/2[/mm]
> dadurch wird aus dem größer gleich ein kleiner gleich:
> [mm]n^1/2[/mm] <= (n+1) - [mm](n+1)^1/2[/mm]
> dann Wurzeln drauß machen:
> [mm]Wurzel(n^1/2)[/mm] <= (n+1) - Wurzel(n+1)
> das wäre mein Ergebnis dann...
Hallo nawu,
so wie die Rechnungen da stehen, sind sie leider
extrem unleserlich. Damit ein Exponent wie etwa
1/2 wirklich oben bleibt, musst du ihn zwischen
geschweifte Klammern setzen. Klicke z.B. mal auf
die folgende Ungleichung:
$\ [mm] n^{1/2}+(n+1)^{-1/2}>(n+1)^{1/2}$
[/mm]
Ich würde sie lieber mittels Wurzelzeichen
schreiben:
[mm] $\sqrt{n}+\frac{1}{\sqrt{n+1}}>\sqrt{n+1}$
[/mm]
Zur Vereinfachung jetzt gleich mit [mm] \sqrt{n+1} [/mm] erwei-
tern, dann Eins subtrahieren, beidseitig quadrieren
und du bist praktisch am Ziel; übrigens ganz ohne
Induktionsbeweis, wie du in der Überschrift ange-
deutet hast.
LG Al-Chw.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:17 So 25.10.2009 | | Autor: | nawu9539 |
Danke für deine Nachricht. Die Aufgabe war von Anfang an ein Induktionsbeweis und ich hatte schon von n --> n+1 geschlossen....deswegen kam ich erst zu den Termen, die in der Aufgabe standen. Trotzem danke für deine Hilfe. Ziemlich flott. danke
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:00 So 25.10.2009 | | Autor: | nawu9539 |
√n + 1/√n+1 ≥ √n+1
[√n mal √n+1] / √n+1 + 1/√n+1 ≥ √n+1
[√n mal √n+1] / √n+1 ≥ √n+1 – (1/√n+1)
[n mal (n+1)] / (n+1) ≥ (n+1) - 1/(n+1)
[n mal (n+1)] / (n+1) ≥ [(n+1) mal (n+1)] / (n+1) - 1/(n+1)
(n² + n) / (n+1) ≥ (n² + 2n) / (n+1)
Das ist falsch!
Oder habe ich da etwas falsch ausgerechnet? Ich kenne die Regel, das wenn ich eine Ungleichung mit einer Negativen Zahl multipliziere, sich das Kehrzeichen umdreht, aber das ist ja nicht der Fall bei einer Subtraktion?!?!
Bitte um Hilfe. Danke
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:28 So 25.10.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
benutz doch wirklich den Formeleditor, das ist kaum zu lesen.
> √n + 1/√n+1 ≥ √n+1
>
> [√n mal √n+1] / √n+1 + 1/√n+1 ≥ √n+1
[mm] \wurzel{n}*\wurzel{n+1}+1=n*1
[/mm]
[mm] \wurzel{n}*\wurzel{n+1}=n
[/mm]
ich hab beide Seiten der Gl ,it [mm] \wurzel{n+1} [/mm] multipliziert.
jetzt quadrieren. warum befolgst du sehr genaue Ratschlaeg nicht?
jetzt quadrieren
>
> [√n mal √n+1] / √n+1 ≥ √n+1 – (1/√n+1)
ab hier Unsinn: [mm] (a+b)^2\ne a^2+b^2
[/mm]
>
> [n mal (n+1)] / (n+1) ≥ (n+1) - 1/(n+1)
>
> [n mal (n+1)] / (n+1) ≥ [(n+1) mal (n+1)] / (n+1) -
> 1/(n+1)
>
> (n² + n) / (n+1) ≥ (n² + 2n) / (n+1)
>
> Das ist falsch!
Ja!
>oder habe ich da etwas falsch ausgerechnet? Ich kenne die
> Regel, das wenn ich eine Ungleichung mit einer Negativen
> Zahl multipliziere, sich das Kehrzeichen umdreht, aber das
> ist ja nicht der Fall bei einer Subtraktion?!?!
Der Fehler war viel schlimmer!
Gruss leduart
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