Beweis einer Matrix < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Zeigen Sie : Falls [mm] A\in\IR^{m\times n} [/mm] , [mm] x\in\IR^n [/mm] , [mm] y\in\IR^m [/mm] , so gilt : $(Ax,y)=(x,A^ty)$
Bemerkung: Der Beweis wird durch Benutzung des richtigen Formalismus sehr kurz. Stellen sie insbesondere sicher, dass die Aussage sinnvoll ist. |
Hallo, dies ist eine Aufgabe aus dem Mathe Vorkurs einer Uni, an dem ich im Moment teilnehme. Ichmöchte nicht unbedingt die Lösung, nur dassmir bitte jemand auf die Sprünge hilft, danke.
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> Zeigen Sie : Falls [mm]A\in\IR^{m\times n}[/mm] , [mm]x\in\IR^n[/mm] ,
> [mm]y\in\IR^m[/mm] , so gilt : [mm](Ax,y)=(x,A^ty)[/mm]
> Bemerkung: Der Beweis wird durch Benutzung des richtigen
> Formalismus sehr kurz. Stellen sie insbesondere sicher,
> dass die Aussage sinnvoll ist.
Hallo,
ich nehme mal an, daß für [mm] a,b\in \IR^m [/mm] mit (a,b) gemeint ist [mm] (a,b):=a^{t}b [/mm] (Matrixmultiplikation)
Um sicherzustellen, daß die Aufgabe überhaupt sinnvoll ist, muß Du zunächst prüfen, ob Du A und x multiplizieren kannst. Dazu mußt Du schauen, ob A soviele Spalten hat wie x Zeilen.
Zu prüfen ist weiter, ob Ax [mm] \in \IR^m, [/mm] denn sonst ist ja (Ax,y) sinnlos.
Außerdem: paßt [mm] A^{t}y? [/mm] Kann man dieses Produkt bilden?
Und: ist [mm] A^{t}y\in \IR^n? [/mm] Denn sonst wäre [mm] (x,A^{t}y) [/mm] sinnlos.
Nach diesen Vorarbeiten starte mit
(Ax,y)= ... ( hier die Def. verwenden für (a,b))
=... (verwende, daß [mm] (AB)^t=(B^tA^t) [/mm] für alle Matrizen A,B, die man miteinandre multiplizieren kann)
=... (verwende das Assoziativgesetz für die Matrizenmultiplikation)
=... (wenn Du soweit bist, kommst Du allein zum Ende.)
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:25 Sa 08.09.2007 | | Autor: | nobsy |
Mit (a,b) ist das Skalarprodukt der Vektoren a und b gemeint.
Folglich ist (Ax,y) das Skalarprodukt der Vektoren Ax und y, wobei der Vektor Ax durch Multiplikation der Matrix A mit dem Vektor x entsteht. x wird also durch Multiplikation mit A vom n-dimensionalen Raum in den m-dimensionalen Raum abgebildet und wird dann mit dem m-dimensionalen Vektor y multipliziert.
Dann dürfte zumindest die Fragestellung klar sein.
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