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Forum "Zahlentheorie" - Beweis einer Mengenformel
Beweis einer Mengenformel < Zahlentheorie < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Beweis einer Mengenformel: Hilfe bei Beweis
Status: (Frage) reagiert/warte auf Reaktion Status 
Datum: 22:52 Mo 03.11.2008
Autor: juuulchen

1+2+3+...+(n-1)+n+(n-1)+...+2+1
n=1,2,...

Finden sie eine Formel und begründen sie
a) unter verwendung von punktemustern
b) Formal (mit hilfe schon bekannter Formeln)

ich habe zwar eine formel gefunden
[mm] \summe_{k=1}^{n}(2k-n) [/mm]

die durch probieren funktioniert, aber beweisen kann ich sie nicht.
kann mir da jemand helfen?

Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.


        
Bezug
Beweis einer Mengenformel: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 23:07 Mo 03.11.2008
Autor: Bastiane

Hallo juuulchen!

> 1+2+3+...+(n-1)+n+(n-1)+...+2+1
>  n=1,2,...
>  
> Finden sie eine Formel und begründen sie
> a) unter verwendung von punktemustern
>  b) Formal (mit hilfe schon bekannter Formeln)
>  
> ich habe zwar eine formel gefunden
>  [mm]\summe_{k=1}^{n}(2k-n)[/mm]

Ich glaube nicht, dass das mit Formel gemeint ist. Das ist ja nur eine andere Schreibweise für obiges. Du kennst doch aber sicher die Formel [mm] \frac{n(n+1)}{2} [/mm] für folgendes: [mm] $\sum\limits_{i=1}^n [/mm] i$. Und mit der kannst du auch obiges beweisen, wenn du eine Formel dafür gefunden hast. Was allerdings mit "Punktemustern" gemeint ist, weiß ich nicht.

Viele Grüße
Bastiane
[cap]

Bezug
                
Bezug
Beweis einer Mengenformel: Rückfrage
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 23:15 Mo 03.11.2008
Autor: juuulchen

würde dann 2 [mm] \bruch{n}{2} [/mm] (n+1) - n  als formel gelten?
das wäre nähmlich das was mir dazu eingefallen ist. aber wie beweise ich das? da steh ich so ziemlich auf dem schlauch

aber danke schon ma für die antwort!

Bezug
                        
Bezug
Beweis einer Mengenformel: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 23:36 Mo 03.11.2008
Autor: juuulchen

würde dann 2  (n+1) - n  als formel gelten?
das wäre nähmlich das was mir dazu eingefallen ist. aber wie beweise ich das? da steh ich so ziemlich auf dem schlauch

aber danke schon ma für die antwort!


Bezug
                                
Bezug
Beweis einer Mengenformel: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 00:07 Di 04.11.2008
Autor: Marcel

Hallo Julchen,

Frage vorneweg: Was hat denn das mit einer "Mengenformel" zu tun? Ich sehe höchstens eine Summenformel, die man suchen/finden sollte.

> würde dann 2  (n+1) - n  als formel gelten?
> das wäre nähmlich das was mir dazu eingefallen ist. aber
> wie beweise ich das? da steh ich so ziemlich auf dem
> schlauch

es führen viele Wege zum Ziel (leider zu einem anderen als das, was Du behauptest; bzw. in Deiner Rückfrage-Mitteilung steht es noch richtig, aber oben hast Du ein [mm] $\black{n}$ [/mm] verschlampt). Naheliegend finde ich eigentlich folgendes:
Wir definieren mal folgendes:
[mm] $a_k:=k$ [/mm] und [mm] $b_k:=n-k$ [/mm] für alle [mm] $k=1,...,n\,.$ [/mm]

Dann gilt:
[mm] $1+2+...+(n-1)+n+(n-1)+...+1=a_1+...+a_n+b_1+...+b_{n-1}+\underbrace{b_n}_{=0}\,.$ [/mm]

Umsortieren liefert:
[mm] $1+2+...+(n-1)+n+(n-1)+...+1=a_1+...+a_n+b_1+...+b_{n-1}+b_n=(a_1+b_1)+(a_2+b_2)+...+(a_n+b_n)\,.$ [/mm]

Nun gilt aber [mm] $a_k+b_k=n$ [/mm] für jedes $k=1,...,n$, so dass obiges liefert:

[mm] $1+2+...+(n-1)+n+(n-1)+...+1=a_1+...+a_n+b_1+...+b_{n-1}+b_n=(a_1+b_1)+(a_2+b_2)+...+(a_n+b_n)=n*n=n^2\,.$ [/mm]

Vollkommen analog kann man auch $1+2+...+(n-1)+n+(n-1)+...+1$ so schreiben:

[mm] \begin{array}{lllllllll} =1& +2& +&.&.&.&+(n-1)&+n\\ +(n-1)& +(n-2)& +&.&.&.&+1&(+0) \end{array} [/mm]

und erkennt dann eigentlich sofort, dass diese Summe gerade [mm] $n*n=n^2$ [/mm] ist.

Genausoschön wäre es, zu behaupten:
[mm] $1+2+...+(n-1)+n+(n-1)+...+1=n^2$ [/mm] gilt für jedes $n [mm] \in \IN\,,$ [/mm] und dann dafür einen Induktionsbeweis zu führen.

Zu guter Letzt: Mit [mm] $s_n:=\sum_{k=1}^n [/mm] k$ gilt

[mm] $1+2+...+(n-1)+n+(n-1)+...+1=s_n+s_n-n=2s_n-n\,.$ [/mm]

Nach dem []kleinen Gauß gilt [mm] $s_n=\frac{n}{2}(n+1)$, [/mm] also:

[mm] $$1+2+...+(n-1)+n+(n-1)+...+1=s_n+s_n-n=2s_n-n=2*\frac{n}{2}(n+1)-n=n^2+n-n=n^2\,.$$ [/mm]

Gruß,
Marcel

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