Beweis einer Ungleichung < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 01:33 Mi 12.01.2005 | | Autor: | newbie |
Wir mussten vor längerem folgende beide Ungleichungen beweisen:
n! [mm] \ge [/mm] ( [mm] \bruch{n}{2})^{\bruch{n}{2}}
[/mm]
n! [mm] \le [/mm] ( [mm] \bruch{n+1}{2})^{n}
[/mm]
Wir sind dabei auf die Idee mit der Fallunterscheidung in n gerade und ungerade gekommen:
n gerade
n! = [mm] \produkt_{k=1}^{n}(k)= \produkt_{k=1}^{\bruch{n}{2}}(k)* \produkt_{i=\bruch{n}{2}+1}^{n}(i)= \produkt_{k=1}^{\bruch{n}{2}}(k)* \produkt_{i=1}^{\bruch{n}{2}}(\bruch{n}{2}+i) \ge \produkt_{i=1}^{\bruch{n}{2}}(\bruch{n}{2}+i) \ge \produkt_{i=1}^{\bruch{n}{2}}(\bruch{n}{2})
[/mm]
Im Falle das n ungerade ist, wurde es nun komplizierter und wir haben uns da verhaspelt, jedenfalls meinte unsere Tutorin, dass man die Fallunterscheidung leicht umgehen könnte, indem man es einfach alles quadriert und da muss ich ehrlich sagen, dass ich es zwar versucht habe, aber nicht hinbekommen habe...
Für die zweite Aufgabe trat genau das gleiche Problem auf, jedenfalls für n gerade:
n! = [mm] \produkt_{k=1}^{\bruch{n}{2}}(k(n-k+1)) \le \produkt_{k=1}^{\bruch{n}{2}}(\bruch{n+1}{2})^{2}, [/mm] da das geometrische Mittel kleiner als das arithmetische Mittel ist, gilt:
[mm] \wurzel{k(n-k+1)} \le \bruch{n+1}{2}
[/mm]
k(n-k+1) [mm] \le (\bruch{n+1}{2})^{2}
[/mm]
So, und auch hier kann man die Fallunterscheidung durch quadrieren umgehen, aber so einfach erscheint es mir dann doch nicht...
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 06:50 Mi 12.01.2005 | | Autor: | Hanno |
Hiho!
Aus Zeitmangel kann ich dir hier leider nur Tips für die erste Ungleichung geben:
Versuch es doch mal über vollständige Induktion! Die Induktionsverankerung ist leicht, da [mm] $1!\geq \left( \frac{1}{2}\right) ^{\frac{1}{2}}=\frac{1}{\sqrt{2}}$ [/mm] gilt. Im Induktionsschritt versuchst du die Gleichung (unter der Veraussetzung, dass sie für n gilt - klar) für n+1 zu beweisen. Dabei erweist sich die Fakultät als äußerst induktionsfreundlich (das ist sie meistens), da ja [mm] $(n+1)!=n!\cdot [/mm] (n+1)$ gilt und du folglich auf $n!$ die Induktionsverankerung anwenden kannst. Dann schreibst du die zu beweisende Ungleichung auf und quadrierst auf beiden Seiten. Durch einige Umformungen (Tip: [mm] $\left( 1+\frac{1}{n}\right) [/mm] ^{n}<3$) kannst du sie schnell verifizieren.
Falls es Probleme geben sollte, frag' nach!
Liebe Grüße,
Hanno
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