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| Aufgabe | | Man beweise: Schreibt man alle natürlichen Zahlen n mit 111 <= n <= 999 in beliebiger Reihenfolge hintereinander auf, so erhält man stets die Ziffernfolge einer durch 37 teilbaren Zahl. |
Hallo zusammen!
Habe hier eine weitere Übungsaufgabe im Zusammenhang mit einem Mathe-Wettbewerb.
Wäre über Hilfe sehr dankbar ;)
Vielen Dank schon mal im Vorraus !
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:50 Mo 08.03.2010 | | Autor: | abakus |
> Man beweise: Schreibt man alle natürlichen Zahlen n mit
> 111 <= n <= 999 in beliebiger Reihenfolge hintereinander
> auf, so erhält man stets die Ziffernfolge einer durch 37
> teilbaren Zahl.
> Hallo zusammen!
>
> Habe hier eine weitere Übungsaufgabe im Zusammenhang mit
> einem Mathe-Wettbewerb.
> Wäre über Hilfe sehr dankbar ;)
Kennst du dich mit Modulorechnung aus?
111 und somit auch 999 ist durch 37 teilbar.
Also gilt [mm] 10^3\equiv [/mm] 1 mod 37, deshalb auch [mm] 10^6 \equiv [/mm] 1 mod 37, [mm] 10^9 \equiv [/mm] 1 mod 37 usw.
Gruß Abakus
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> Vielen Dank schon mal im Vorraus !
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> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
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Hallo
Nein leider haben wir das noch nicht besprochen oder ähnliches.Gibt es keinen anderen Lösungsweg?
Liebe Grüße
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(Antwort) fertig | | Datum: | 09:43 Di 09.03.2010 | | Autor: | statler |
Guten Morgen!
Also, du weißt jetzt, daß 1000 bei Division durch 37 den Rest 1 läßt. Dann kannst du dir überlegen, daß auch jede Potenz von 1000 den Rest 1 läßt. Das würde man streng mit vollständiger Induktion zeigen, nachdem man vorher gezeigt hat, daß das Produkt von 2 Zahlen mit Rest 1 auch Rest 1 hat.
Nun sei A = { n | 111 [mm] \le [/mm] n [mm] \le [/mm] 999 } und i: A [mm] \to [/mm] A eine bijektive Abbildung, also eine Permutation dieser Zahlen.
Dann ist jede zu betrachtende Zahl ('Ziffernfolge') von der Form [mm] \summe_{n = 111}^{999}n*10^{3*i(n)}.
[/mm]
Nun läßt aber [mm] 10^{3*i(n)} [/mm] immer den Rest 1, also läßt
[mm] \summe_{n=111}^{999} n*10^{3*i(n)} [/mm] den gleichen Rest wie [mm] \summe_{n=111}^{999} [/mm] n, und der ist gleich [mm] \summe_{n=1}^{999} [/mm] n - [mm] \summe_{n=1}^{110} [/mm] n, was nach der berühmten Gaußschen Formel gleich [mm] \bruch{999*1000}{2} [/mm] - [mm] \bruch{110*111}{2} [/mm] = 493395 = 37*13335 ist.
Gruß aus HH-Harburg
Dieter
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Hallo!
Vielen Dank für die Lösung!
Habe es nun überwiegend verstanden ;)
Liebe Grüße
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