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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:48 Do 11.10.2012 | | Autor: | Sauri |
| Aufgabe | | M = N [mm] \gdw [/mm] M [mm] \cup [/mm] N = M [mm] \cap [/mm] N |
Hallo Leute ich soll die o. g. Aussage beweisen. Leider habe ich überhaupt keine Ahnung wie ich vorgehen soll. Ich dachte eigentlich in der Vorlesung ganz gut mitgekommen zu sein - jedoch bekomme ich das nicht hin.
Ich weiß leider nicht genau wie ich vorgehen soll. Eine Äuqivalenz beweist man in dem man ein mal diesen [mm] (\Rightarrow) [/mm] und ein mal diesen [mm] (\Leftarrow) [/mm] Weg beschreibt.
Ich weiß aber nicht genau wie ich beispielsweise M = N so umformen soll, dass die rechte Seite herauskommt.
M = N [mm] \gdw [/mm] x [mm] \varepsilon [/mm] M [mm] \Rightarrow [/mm] x [mm] \varepsilon [/mm] N [mm] \wedge [/mm] x [mm] \varepsilon [/mm] N [mm] \Rightarrow [/mm] x [mm] \varepsilon [/mm] M ist.
Ich bin eigentlich jemand, der gut aus Aufgaben lernen kann. Aber ich finde bei leider keine Verlgleichbaren Aufgaben. Könnt ihr mir hier vielleicht helfen? So dass ich mal einen Lösungsansatz habe?
Ich habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen Internetseiten gestellt:
http://www.matheboard.de/thread.php?postid=1676345#post1676345
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Hallo Sauri und erstmal herzlich ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") ,
> M = N [mm]\gdw[/mm] M [mm]\cup[/mm] N = M [mm]\cap[/mm] N
> Hallo Leute ich soll die o. g. Aussage beweisen. Leider
> habe ich überhaupt keine Ahnung wie ich vorgehen soll. Ich
> dachte eigentlich in der Vorlesung ganz gut mitgekommen zu
> sein - jedoch bekomme ich das nicht hin.
>
> Ich weiß leider nicht genau wie ich vorgehen soll. Eine
> Äuqivalenz beweist man in dem man ein mal diesen
> [mm](\Rightarrow)[/mm] und ein mal diesen [mm](\Leftarrow)[/mm] Weg
> beschreibt.
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") ganz genauso ist es!
>
> Ich weiß aber nicht genau wie ich beispielsweise M = N so
> umformen soll, dass die rechte Seite herauskommt.
>
> M = N [mm]\gdw[/mm] x [mm]\varepsilon[/mm] M [mm]\Rightarrow[/mm] x [mm]\varepsilon[/mm] N
> [mm]\wedge[/mm] x [mm]\varepsilon[/mm] N [mm]\Rightarrow[/mm] x [mm]\varepsilon[/mm] M ist.
>
> Ich bin eigentlich jemand, der gut aus Aufgaben lernen
> kann. Aber ich finde bei leider keine Verlgleichbaren
> Aufgaben. Könnt ihr mir hier vielleicht helfen? So dass
> ich mal einen Lösungsansatz habe?
Ok, für die Richtung [mm][\Rightarrow][/mm] hast du als Voraussetzung [mm]\red{M=N}[/mm]
Nun ist zu zeigen, dass gefälligst unter dieser Voraussetzung gilt [mm]M\cup N \ = \ M\cap N[/mm]
Und wie zeigt man üblicherweise eine Mengengleichheit [mm]A=B[/mm]?
Indem man die beiden Teilmengenbeziehungen [mm]A\subset B[/mm] und [mm]B\subset A[/mm] zeigt.
Hier zeige also, dass gilt:
1) [mm]M\cup N \ \subset \ M\cap N[/mm] und
2) [mm]M\cap N \ \subset \ M\cup N[/mm]
Das wäre ein ganz formaler Weg, den du mal probieren kannst.
Es geht aber hier wesentlich schneller.
Wir haben ja als Voraussetzung [mm]\red{M=N}[/mm]
Was ist dann [mm]M\cup N[/mm]?
Dasselbe wie [mm]M\cup M[/mm] , und das ist [mm]=M[/mm] (und auch [mm]=N[/mm])
Und was ist [mm]M\cap N[/mm]?
Dasselbe wie [mm]M\cap M[/mm] , und das ist [mm]=M[/mm] (und auch [mm]=N[/mm])
Damit ist die Richtung [mm][\Rightarrow][/mm] schon erledigt.
Nun die andere Richtung [mm][\Leftarrow][/mm]
Hier gilt als Voraussetzung [mm]M\cup N \ = \ M\cap N[/mm]
Zu zeigen ist [mm]M=N[/mm]
Dazu zeige die beiden Teilmengenbeziehungen [mm]M\subset N[/mm] und [mm]N\subset M[/mm] - wie oben angedeutet.
Das war jetzt viel klein-klein, aber ich hoffe, es hilft dir!
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>
> Ich habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen
> Internetseiten gestellt:
>
> http://www.matheboard.de/thread.php?postid=1676345#post1676345
Gruß
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:08 Do 11.10.2012 | | Autor: | Sauri |
Hallo, vielen vielen Dank!!!
Ich werde das sofort ausprobieren! Nochmals tausend Dank!
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:17 Do 11.10.2012 | | Autor: | Sauri |
Also ich bin jetzt beim zweiten Teil. Und muss zeigen, dass M = N ist unter der Vorraussetzung M [mm] \cup [/mm] N = M [mm] \cap [/mm] N :
M = N [mm] \gdw [/mm] M [mm] \subset [/mm] N [mm] \wedge [/mm] N [mm] \subset [/mm] M [mm] \gdw [/mm] x [mm] \varepsilon [/mm] M [mm] \gdw [/mm] x [mm] \varepsilon [/mm] N
Aber wie setze ich in diesem Fall meine Vorraussetzung ein?
Umgeschrieben heißt der erste Teil der Vorraussetzung z. B.:
M [mm] \cup [/mm] N [mm] \gdw [/mm] x [mm] \varepsilon [/mm] M [mm] \vee [/mm] x [mm] \varepsilon [/mm] N
aber in inwiefern hilft mir das weiter?
Vielen Dank noch einmal!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:27 Do 11.10.2012 | | Autor: | Teufel |
Hi!
Mach es mal so, wie schauzipus es gesagt hat. Zeige $M [mm] \subseteq [/mm] N$ und $N [mm] \subseteq [/mm] M$.
Nehmen wir mal $M [mm] \subseteq [/mm] N$. Du musst dafür zeigen: Falls $x [mm] \in [/mm] M$, so folgt $x [mm] \in [/mm] N$. Sei also $x [mm] \in [/mm] M$. Dann ist doch erst recht $x [mm] \in [/mm] M [mm] \cup [/mm] N$. Kommst du damit weiter?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:53 Do 11.10.2012 | | Autor: | Sauri |
also wenn x [mm] \varepsilon [/mm] M ist. Dann folgt daraus ja wegen M [mm] \subset [/mm] N das x auch in N ist oder? Grund dafür: x [mm] \varepsilon [/mm] M [mm] \Rightarrow [/mm] x [mm] \varepsilon [/mm] N.
Und wenn x in M [mm] \cup [/mm] N ist dann ist es wegen der Vorraussetung auch in M [mm] \cap [/mm] N ???? Vorraussetzung war das M [mm] \cup [/mm] N = M [mm] \cap [/mm] N .
Oder ist das zu einfach?^^
Danke für deine Antwort!!!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:17 Do 11.10.2012 | | Autor: | Teufel |
Nein nicht ganz, die Voraussetzung ist ja jetzt $M [mm] \cup [/mm] N = M [mm] \cap [/mm] N$. Daraus musst du M=N folgern, du darfst dabei also nicht schon M [mm] \subseteq [/mm] N benutzen. Dass M [mm] \subseteq [/mm] N willst du ja jetzt erst zeigen!
Dazu habe ich ein $x [mm] \in [/mm] M$ genommen und will zeigen, dass das x auch in N liegt. Sei also $x [mm] \in [/mm] M$. Wie ich schon geschrieben habe, ist dann auch erst recht $x [mm] \in [/mm] M [mm] \cup [/mm] N$. Dann hast du richtig erkannt, dass daraus auch $x [mm] \in [/mm] M [mm] \cap [/mm] N$ folgt, weil du ja $M [mm] \cup [/mm] N = M [mm] \cap [/mm] N$ benutzen darfst!
Aber was heißt denn nun die Aussage, dass $x [mm] \in [/mm] M [mm] \cap [/mm] N$ ist? Wenn du dir mal anschaust, was du für dieses x eigentlich zeigen wolltest.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:48 Do 11.10.2012 | | Autor: | Sauri |
Also wenn x [mm] \varepsilon [/mm] M ist. Und die o. g. Vorraussetzung gilt. Dann ist x in jedem Fall in M [mm] \cup [/mm] N und auch in M [mm] \cap [/mm] N.
M [mm] \cap [/mm] N [mm] \gdw [/mm] x [mm] \varepsilon [/mm] M [mm] \wedge [/mm] x [mm] \varepsilon [/mm] N .
Deswegen ist x auch in N und es gilt N [mm] \subset [/mm] M .
Ists' das so richtig begründet?
Vielen an dieser Stelle noch mal!
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Hallo Sauri,
noch nicht ganz.
> Also wenn x [mm]\varepsilon[/mm] M ist. Und die o. g. Vorraussetzung
> gilt. Dann ist x in jedem Fall in M [mm]\cup[/mm] N und auch in M [mm]\cap[/mm]N.
Mach mal weniger Freiräume in Deine Formeln, dann werden sie "schöner". Außerdem hat es unser Parser leichter, sie zu interpretieren.
> M [mm]\cap[/mm] N [mm]\gdw[/mm] x [mm]\varepsilon[/mm] M [mm]\wedge[/mm] x [mm]\varepsilon[/mm] N .
Es ist klar, was du meinst (und auch richtig), aber die Notation geht so nicht.
> Deswegen ist x auch in N und es gilt N [mm]\subset[/mm] M .
Der letzte Schritt ist falsch.
[mm] x\in M\Rightarrow x\in N\Rightarrow \blue{M\subset N}
[/mm]
Nimm mal [mm] M=\IN [/mm] und [mm] N=\IZ.
[/mm]
Dann ist [mm] M\cap{N}=\IN [/mm] und es gilt [mm] x\in M\Rightarrow x\in{N}
[/mm]
Aber es ist keineswegs [mm] N\subset{M}, [/mm] sondern umgekehrt.
> Ists' das so richtig begründet?
>
> Vielen an dieser Stelle noch mal!
Herzlichen 
reverend
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:22 Do 11.10.2012 | | Autor: | Sauri |
Jo, das mit der Notation macht Sinn!!!!
Danke allen beteiligten, ich werde evtl. morgen mal die gesammte Lösung posten. Andere User mit ähnlichem Problem können sich dann hier orientieren!
Vielen Vielen Dank!
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