Beweis eines Supremum < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:39 Do 27.10.2005 | | Autor: | spritey |
Hallo zusammen!
Ich hatte heute meine zweite HM (Analysis) - Vorlesung und bin 'leicht' verwirrt. 
Unser Prof hat einen Beweis für ein Supremum eines Intervalls angeschrieben:
M = (1,2)
=> supM = 2; infM=1
Beweis für supM=2:
Sei [mm] \gamma [/mm] < 2; z.z.: [mm] \gamma [/mm] ist keine OS von M
Ist [mm] \gamma \le [/mm] 1, so gilt [mm] \bruch{3}{2} [/mm] > [mm] \gamma [/mm] und [mm] \bruch{3}{2} \in [/mm] M;
Also ist [mm] \gamma [/mm] keine OS von M
Ist [mm] \gamma [/mm] > 1, so gilt [mm] \gamma [/mm] < [mm] \bruch{\gamma+2}{2} \in [/mm] M;
Also ist [mm] \gamma [/mm] keine OS von M;
Meine Frage ist: Wie kommt der Prof auf die [mm] \bruch{3}{2} [/mm] bzw [mm] \bruch{\gamma+2}{2}???
[/mm]
Kann mir jemand helfen? Danke!!!
PS:
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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> Hallo zusammen!
> Ich hatte heute meine zweite HM (Analysis) - Vorlesung und
> bin 'leicht' verwirrt.
>
> Unser Prof hat einen Beweis für ein Supremum eines
> Intervalls angeschrieben:
>
> M = (1,2)
> => supM = 2; infM=1
>
> Beweis für supM=2:
Die Behauptung ist, daß 2 das Supremum ist. Die beinhaltet, daß zwei eine obere Schranke ist, und zwar die kleinste aller oberen Schranken.
Da 2 offensichtlich eine obere Schranke ist, hat kein [mm] \gamma>2 [/mm] überhaupt nur eine Chance, als Supremumskandidat in Erwägung gezogen zu werden.
Wenn also 2 nicht das Supremum ist, ist das Supremum kleiner als 2.
>
> Sei [mm]\gamma[/mm] < 2; z.z.: [mm]\gamma[/mm] ist keine OS von M
Dein Prof. nimmt sich so ein [mm]\gamma[/mm] < 2 her. Er möchte zeigen, daß dieses [mm] \gamma [/mm] keine obere Schranke ist. Damit hat er dann auch gezeigt, daß es kein Supremum ist.
>
> Ist [mm]\gamma \le[/mm] 1, so gilt [mm]\bruch{3}{2}[/mm] > [mm]\gamma[/mm] und
> [mm]\bruch{3}{2} \in[/mm] M;
> Also ist [mm]\gamma[/mm] keine OS von M
Nun hat er erstmal geguckt, was mit den [mm] \gamma [/mm] ist, die "unterhalb" des Intervalls liegen, also [mm] \le [/mm] 1 sind. Die sind keine obere Schranke für das Intervall (1,2),
denn
[mm]\bruch{3}{2}[/mm] > [mm]\gamma[/mm] und [mm]\bruch{3}{2} \in[/mm] M
Statt [mm] \bruch{3}{2} [/mm] hätte er jedes beliebige Element aus dem Intervall nehmen können. Denn alle sind ja größer als 1.
[mm] \bruch{3}{2} [/mm] ist einfach nur ein Beispiel, und das reicht.
Er hat ein Element von M angegeben, welches größer ist als [mm] \gamma.
[/mm]
>
> Ist [mm]\gamma[/mm] > 1, so gilt [mm]\gamma[/mm] < [mm]\bruch{\gamma+2}{2} \in[/mm]
> M;
> Also ist [mm]\gamma[/mm] keine OS von M;
Als nächstes hat er sich ein [mm] \gamma [/mm] aus dem Intervall genommen. Dann hat er ein Element des Intervalls konstruiert, welches größer als sein [mm] \gamma [/mm] ist. Er hat dazu einfach die Mitte zwischen [mm] \gamma [/mm] und dem Intervallende 2 genommen Er hätte aber genausogut [mm] \gamma+ \bruch{3}{4}(2- \gamma [/mm] ) nehmen können. Weil er im Intervall ein Element gefunden hat, welches größer ist, ist auch dieses [mm] \gamma [/mm] keine obere Schranke.
Weil nun kein [mm] \gamma<2 [/mm] eine obere Schranke ist, ist 2 das Supremum, die kleinste obere Schranke.
Gruß v. Angela
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