Beweis für Bijektivität < Komplexe Zahlen < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 09:47 Mo 03.11.2014 | | Autor: | Manu3911 |
| Aufgabe | Auf der Menge der komplexen Zahlen [mm] \IC [/mm] ist die Abbildung
[mm] f : \IC \rightarrow \IC [/mm] mit [mm] f(z)=-1+i(z-1) [/mm] gegeben.
Zeigen Sie, dass f injektiv und surjektiv (dh. bijektiv) ist. |
Hallo zusammen,
könntet ihr mir bitte bei oben vorgestellter Aufgabe helfen? Ich weiß bei "Zeigen Sie ..." immer garnicht, wie ich überhaupt anfangen soll.
Also ich weiß natürlich, das bijektiv heißt, dass jedes Bild genau ein Urbild hat und das Bild wird ja hier durch die Funktion erzeugt. Aber wie zeige bzw. beweise ich das?
Ich bin für jeden Denkanstoß dankbar!
Viele Grüße
Manu
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:01 Mo 03.11.2014 | | Autor: | chrisno |
Schreib erst einmal die Definition der Injektivität hin.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:07 Mo 03.11.2014 | | Autor: | Manu3911 |
Also, Injektivität heißt, dass jedes Bild (also der Funktionswert), höchstens ein Urbild hat.
Soweit korrekt?
Gruß Manu
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:49 Mo 03.11.2014 | | Autor: | chrisno |
Hast Du es nicht formaler?
Macht nichts, es geht auch ohne.
Nimm Dir einen beliebigen Funktionswert, das ist eine Zahl aus [mm] $\IC$. [/mm] Nun bestimme das Urbild. Wenn es da keine zwei Möglichkeiten gibt, ist es eindeutig bestimmt.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:33 Mo 03.11.2014 | | Autor: | fred97 |
> Auf der Menge der komplexen Zahlen [mm]\IC[/mm] ist die Abbildung
> [mm]f : \IC \rightarrow \IC[/mm] mit [mm]f(z)=-1+i(z-1)[/mm] gegeben.
> Zeigen Sie, dass f injektiv und surjektiv (dh. bijektiv)
> ist.
> Hallo zusammen,
>
> könntet ihr mir bitte bei oben vorgestellter Aufgabe
> helfen? Ich weiß bei "Zeigen Sie ..." immer garnicht, wie
> ich überhaupt anfangen soll.
> Also ich weiß natürlich, das bijektiv heißt, dass jedes
> Bild genau ein Urbild hat und das Bild wird ja hier durch
> die Funktion erzeugt. Aber wie zeige bzw. beweise ich das?
> Ich bin für jeden Denkanstoß dankbar!
>
> Viele Grüße
> Manu
Du kannst das so machen: ist $w [mm] \in \IC$, [/mm] so zeige: die Gleichung
(*) $ w=-1+i(z-1) $
hat genau eine Lösung $z [mm] \in \IC$.
[/mm]
Löse also (*) einfach nach $z$ auf.
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:14 Di 04.11.2014 | | Autor: | Manu3911 |
Hallo,
also erstmal sry, dass ich jetzt erst zurückschreibe!
Vielen Dank für die Hilfe. Ich hab noch eine Frage:
Warum kann ich [mm] w\in \IC [/mm] annehmen?
Meine Vermutung wäre, weil ja gegeben ist [mm] f: \IC \rightarrow \IC [/mm] und ich ja [mm] f(z)=w [/mm] setze, oder?
Ich hab jetzt raus [mm] z=\bruch{w+1}{i}+1 [/mm].
Und da die Ausgangsgleichung keine Gleichung höheren Grades war, kann ich sagen, dass z jetzt die einzige Lösung ist und f(z) damit bijektiv ist, wäre das so richtig argumentiert?
Vielen Dank!
Gruß Manu
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:48 Di 04.11.2014 | | Autor: | chrisno |
> Hallo,
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> also erstmal sry, dass ich jetzt erst zurückschreibe!
Da hast Du alle Freiheiten, solange Du es nicht vorher ganz dringend gemacht hast.
>
> Vielen Dank für die Hilfe. Ich hab noch eine Frage:
> Warum kann ich [mm]w\in \IC[/mm] annehmen?
Weil die Abbildung nach [mm] $\IC$ [/mm] geht. Also kommen die Elemente der Bildmenge da her.
>
> Meine Vermutung wäre, weil ja gegeben ist [mm]f: \IC \rightarrow \IC[/mm]
> und ich ja [mm]f(z)=w[/mm] setze, oder?
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> Ich hab jetzt raus [mm]z=\bruch{w+1}{i}+1 [/mm].
Ich auch.
> Und da die Ausgangsgleichung keine Gleichung höheren
> Grades war, kann ich sagen, dass z jetzt die einzige
> Lösung ist und f(z) damit bijektiv ist, wäre das so
> richtig argumentiert?
Das sehe ich nicht so.
Die Argumentation ist so: Für ein beliebiges Element der Bildmenge wird so ein Urbild gefunden. Dies kann direkt eindeutig angegeben werden. (Die Ursache dafür ist, dass da keine quadratisch Gleichung oder so etwas in die Quere kam, aber das gehört nicht in die Schlussfolgerungen.)
Also ist die Funktion injektiv.
Gleichzeitig wird auch die Surjektivität gezeigt. Mit Hilfe der obigen Gleichung kann für jedes $w [mm] \in \IC$ [/mm] ein Urbild angegeben werden. (Das wäre anders, wenn das w in den Nenner geraten wäre.)
Damit ist dann die Bijektivität gezeigt.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:05 Di 04.11.2014 | | Autor: | Manu3911 |
Ok, das hat mir alles sehr sehr weitergeholfen, hab aber trotzdem noch eine Frage.
Also, w ist ja die Bildmenge und z die Urbildmenge, korrekt?
Ich versteh deine Argumentation einfach noch nicht richtig, iwie sind für mich die Begründung für injektiv und surjektiv gleich.
Ich versuchs mal mit meinen Worten:
Injektiv heißt, dass es für jedes w höchstens ein z gibt. Und da keine quadratische Gleichung etc vorliegt ist die Injektivität hier eindeutig bestimmt.
Surjektivität heißt, dass es für jedes w mindestens ein z gibt. Du hast geschrieben, dass mit Hilfe der obigen Gleichung für jedes [mm] w\in\IC [/mm] ein Urbild angegeben werden kann. Aber ist das dann nicht iwie die gleiche Begründung wie für Injektivität?
Warum wäre das anders, wenn w im Nenner stehen würde? Ich vermute, weil es für das w, bei dem der Nenner 0 wird dementsprechend kein Urbild gibt, weil ja geteilt durch 0 nicht definiert ist?
Vielen Dank!
Gruß Manu
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:42 Di 04.11.2014 | | Autor: | chrisno |
Wenn Du bei Wikipedia unter Injektivität schaust, wird es vielleicht deutlicher. Da wird zwischen Zielmenge und Bildmenge unterschieden, die Bildmenge ist die Teilmenge aus der Zielmenge, die getroffen wird.
Zu zeigen ist, dass bei jedem Element, das getroffen wird, nur ein Urbild existiert. Das wird dadurch gemacht, dass dieses eindeutig bestimmte Urbild angegeben wird.
Bei der Surjektivität wird in diesem Fall die gleiche Rechnung betrachtet, aber unter einem anderen Aspekt. Es muss nun gezeigt werden, dass ach jedes Element der Zielmenge getroffen wird. Das stimmt, weil kein Element der Zielmenge bei der Rechnung ausgeschlossen wurde.
> Warum wäre das anders, wenn w im Nenner stehen würde? Ich vermute, weil es für das w, bei dem der Nenner 0 wird dementsprechend kein Urbild gibt, weil ja geteilt durch 0 nicht definiert ist?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:34 Mi 05.11.2014 | | Autor: | Manu3911 |
Danke, die Erklärung war nochmal super, jetzt hab auch ich es endlich verstanden! (;
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:17 Mi 05.11.2014 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Ok, das hat mir alles sehr sehr weitergeholfen, hab aber
> trotzdem noch eine Frage.
>
> Also, w ist ja die Bildmenge und z die Urbildmenge,
> korrekt?
>
> Ich versteh deine Argumentation einfach noch nicht richtig,
> iwie sind für mich die Begründung für injektiv und
> surjektiv gleich.
es gibt auch folgende, wie ich finde, praktikable Charakterisierungen:
Eine Funktion
$f [mm] \colon [/mm] X [mm] \to [/mm] Y$
ist genau dann
1. surjektiv, wenn FÜR JEDES $y [mm] \in [/mm] Y$ die Lösungsmenge der Gleichung
[mm] $f(x)=y\,$ [/mm] in $x [mm] \in [/mm] X$
nicht leer (d.h. mindestens einelementig!) ist.
2. injektiv, wenn FÜR JEDES $y [mm] \in [/mm] Y$ die Lösungsmenge der Gleichung
[mm] $f(x)=y\,$ [/mm] in $x [mm] \in [/mm] X$
höchstens einelementig ist!
Da "bijektiv=injektiv+surjektiv", kann man sagen: $f [mm] \colon [/mm] X [mm] \to [/mm] Y$ ist genau dann
3. bijektiv, wenn FÜR JEDES $y [mm] \in [/mm] Y$ die Lösungsmenge der Gleichung
[mm] $f(x)=y\,$ [/mm] in $x [mm] \in [/mm] X$
genau einelementig ist!
Nichts anderes steckt eigentlich in den entsprechenden [mm] "$f^{-1}(\{y\})$-Formulierungen".
[/mm]
(Vermutlich macht sich das aber nicht jeder klar!)
P.S. Beachte aber, dass in der Formulierung
"Lösungsmenge der Gleichung $f(x)=y$"
mit drinsteckt, dass diese (natürlich) von [mm] $y\,$ [/mm] abhängt. Man könnte obige
Formulierung also etwas formaler machen, indem man der
"Lösungsmenge der Gleichung [mm] $f(x)=y\,$ [/mm] in $x [mm] \in [/mm] X$"
Namen gibt:
[mm] $\IL_y=\{x \in X \mid f(x)=y\}\,,$
[/mm]
und jetzt schau' mal, was das mit [mm] $f^{-1}(\{y\})$ [/mm] zu tun hat, und Du siehst
auch, warum man das eher nicht so formuliert, wie ich es oben getan habe.
Gruß,
Marcel
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:00 Mi 05.11.2014 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Hallo,
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> also erstmal sry, dass ich jetzt erst zurückschreibe!
>
> Vielen Dank für die Hilfe. Ich hab noch eine Frage:
> Warum kann ich [mm]w\in \IC[/mm] annehmen?
>
> Meine Vermutung wäre, weil ja gegeben ist [mm]f: \IC \rightarrow \IC[/mm]
> und ich ja [mm]f(z)=w[/mm] setze, oder?
>
> Ich hab jetzt raus [mm]z=\bruch{w+1}{i}+1 [/mm].
> Und da die Ausgangsgleichung keine Gleichung höheren
> Grades war, kann ich sagen, dass z jetzt die einzige
> Lösung ist und f(z) damit bijektiv ist, wäre das so
> richtig argumentiert?
eine gute Argumentation wäre etwa die folgende:
Für jedes $w [mm] \in \IC$ [/mm] ist die Gleichung
[mm] $f(z)=w\,$
[/mm]
lösbar für genau ein $z [mm] \in \IC\,:$
[/mm]
Dies folgt aus (ich verkürze Deine Rechnung): Für jedes $w [mm] \in \IC$ [/mm] gilt
[mm] $f(z)=w\,$
[/mm]
[mm] $\iff$ [/mm] ... [mm] $\iff$ $z=\bruch{w+1}{i}+1\,.$
[/mm]
(Denn Fazit:
[mm] $f(z)=w\,$ $\iff$ [/mm] $z [mm] \in \{(w+1)/i\,+\,1\}\,,$
[/mm]
anders gesagt: [mm] $f^{-1}(\{w\})$ [/mm] ist (immer) einelementig, genauer [mm] $=\{(w+1)/i\,+\,1\}$.)
[/mm]
Daher ist [mm] $f\,$ [/mm] bijektiv.
Generell, wenn die Frage ist: "Ist $f [mm] \colon [/mm] X [mm] \to [/mm] Y$ injektiv, surjektiv ?" (die Frage
der Bijektivität brauchen wir nicht extra zu formulieren, denn Bijektivität ist
ja nichts anderes als simultan injektiv und surjektiv), kann es eine sinnvolle
Vorgehensweise sein, sich zu fragen:
Kann ich "für jedes $y [mm] \in [/mm] Y$" etwas über die Lösungsmenge der Gleichung
[mm] $f(x)=y\,$
[/mm]
(bzgl. $x [mm] \in [/mm] X$) sagen? (Manchmal sind andere Strategien *schneller*).
Machen wir mal ein Bsp.:
Sei
$f [mm] \colon [-1,\infty) \to [-2,\infty)$ [/mm] durch [mm] $f(x)=|x|\,$
[/mm]
gegeben.
Frage: Ist [mm] $f\,$ [/mm] injektiv?
Wir machen den Ansatz: Wenn wir irgendein $y [mm] \in [-2,\infty)$ [/mm] vorgeben, wie
sieht es dann mit der Lösungsmenge der Gleichung
[mm] $f(x)=y\,,$ [/mm] also $|x|=y$
mit $x [mm] \in [-1,\infty)$ [/mm] aus?
Wir behalten also im Hinterkopf, dass immer $x [mm] \ge [/mm] -1$ und $y [mm] \ge [/mm] -2$ ist. Wir
untersuchen folgende Fälle:
1. $y < [mm] 0\,,$ [/mm] also $-2 [mm] \le [/mm] y < [mm] 0\,.$
[/mm]
Die Gleichung
[mm] $|x|=y\,$
[/mm]
ist hier nicht lösbar in $x [mm] \in \IR$ [/mm] - insbesondere auch nicht für $x [mm] \in [-1,\infty)$. [/mm]
(Was wissen wir jetzt schon bzgl. der Frage, ob [mm] $f\,$ [/mm] surjektiv ist?)
2. Sei $0 < y [mm] \le 1\,.$ [/mm] Dann ist
$f(x)=y$ [mm] $\iff$ [/mm] $|x|=y$ [mm] $\iff$ $x=\pm y\,$ $\iff$ [/mm] $x [mm] \in \{-y,y\}\,.$
[/mm]
Beachte, dass nur $x [mm] \ge [/mm] -1$ zudem sein soll, was hier gewährleistet ist. Was
bedeutet das bzgl. der Frage, ob [mm] $f\,$ [/mm] injektiv ist?
3. Sei $y [mm] \in \{0\} \cup (1,\infty)\,.$ [/mm] Dann ist
$f(x)=y$ [mm] $\iff$ $|x|=y\,$ $\iff$ $x=y\,$ $\iff$ [/mm] $x [mm] \in \{y\}\,.$
[/mm]
Beachte dabei, dass [mm] $x=-y\,$ [/mm] wegen $x [mm] \ge [/mm] -1$ hier nicht in Frage kommt.
Gruß,
Marcel
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