Beweis für Determinante < Determinanten < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:43 Mi 07.11.2007 | | Autor: | jura |
| Aufgabe | Beweisen Sie mit Hilfe vollständiger Induktion:
[mm] D_{n}=\vmat{a&1&1&...&1&1&1\\-1&a&1&...&1&1&1\\-1&-1&a&...&1&1&1\\.&.&.& &.&.&.\\.&.&.& &.&.&.\\.&.&.& &.&.&.\\-1&-1&-1&...&-1&a&1\\-1&-1&-1&...&-1&-1&a}=\bruch{ (a+1)^{n} (a-1)^{n}}{2} [/mm] |
hallo!
mein problem besteht schon einmal darin, dass ich den induktionsanfang nicht finden kann: bisher habe ich für n=1 bis n=4 durchgerechnet und meiner meinung nach gilt obiger satz für diese n noch nicht. nun bin ich mir nicht sicher, ob ich bereits am anfang falsch denke und die n falsch einsetze, oder ob ich einfach weiterrechnen sollte, bis ich das erste n gefunden habe. aber auch danach werde ich wohl für den schluss auf n+1 keine zündende idee finden...kann mir bitte irgendjemand einen tipp für das herangehen an diesen beweis geben? vielen dank!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:09 Mi 07.11.2007 | | Autor: | SEcki |
> mein problem besteht schon einmal darin, dass ich den
> induktionsanfang nicht finden kann: bisher habe ich für n=1
> bis n=4 durchgerechnet und meiner meinung nach gilt obiger
> satz für diese n noch nicht.
Sicher, das die Aufgabe so stimmt? Als ertses: wie viele Reihen bzw. Spatlen hat die MAtrix? Falls n, dann ist der Ausdruck auf derr ehcten seite sicher falsch - das wäre ein Polynom vom Grad 2n. Nehmen wir also mal 2n Reihen an. Setze mal [m]a=1[/m] ein - dafür erhält man eine invertierbare Matrix, was der rechten Gleichung widerspricht.
SEcki
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 16:44 Mi 07.11.2007 | | Autor: | jura |
jaja, die aufgabe lautet exakt so- zumindest auf meinem aufgabenblatt! ich habe ja ebenfalls angenommen, dass die determinante n reihen hat- aber das funktioniert eben nicht so ganz. hast du vielleicht ne idee, wie die aufgabe eigentlich heißen könnte, damit sie "richtig" ist? oder muss ich beweisen, dass es nicht gilt...?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:20 Fr 09.11.2007 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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(Frage) überfällig | | Datum: | 20:56 Fr 09.11.2007 | | Autor: | jura |
| Aufgabe | Beweisen Sie mit vollständiger Induktion:
[mm] D_{n}=\vmat{a&1&1&...&1&1&1\\-1&a&1&...&1&1&1\\-1&-1&a&...&1&1&1\\.&.&.& &.&.&.\\.&.&.& &.&.&.\\.&.&.& &.&.&.\\-1&-1&-1&...&-1&a&1\\-1&-1&-1&...&-1&-1&a}=\bruch{ (a+1)^{n} + (a-1)^{n}}{2} [/mm] |
so, nach einigem grübeln, bin ich darauf gekommen, dass in der aufgabenstellung statt dem "mal" wohl ein "plus" stehen muss- oben also nocheinmal die richtige aufgabenstellung.
kann damit vielleicht jemand etwas anfangen und mir einen hinweis für die beweisführung geben? ich dachte daran, evtl verschiedene zeilen zu addieren- nützt mir das etwas?
vielen dank!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 08:32 Sa 10.11.2007 | | Autor: | Zwerglein |
Hi, Jura,
dass Du den Beweis mit Hilfe des "Entwicklungssatzes" führen musst,
ist Dir aber schon klar?
mfG!
Zwerglein
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:52 Sa 10.11.2007 | | Autor: | jura |
naja, ich habe wie gesagt die 1. mit der 2. spalte vertauscht und anschließend die zeilen addiert- so erhält man in der 1.spalte viele nullen- dann habe ich über diese spalte entwickelt und erhalte auch ausdrücke mit (a-1) und (a+1) etc. aber zum einen kann ich ja die deteminanten nie ganz berechnen, wenn ich n reihen habe oder? und zum anderen weiß ich auch gar nicht, wie ich die ganze sache mit dem induktionsbeweis zusammenbringen soll, bringt mir mein ansatz dafür überhaupt etwas?
wäre für jeden tipp sehr dankbar!!!
viele grüße, jura
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:41 Mi 14.11.2007 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:18 Mo 12.11.2007 | | Autor: | jura |
leider ist meine frage mal wieder abgelaufen-war ja auch wochenende...deshalb möchte ich hiermit ganz einfach nocheinmal meine frage erneuern- steht ja alles nötige bereits da!
also vielen dank schonmal, wär echt schön, wenn mir jemand helfen könnte!
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