Beweis für Notwendigkeit von i < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Sehr geehrte Matheforum-Mitglieder,
seit einiger Zeit interessiere ich mich auch privat für Mathematik und habe mich kürzlich mit mathematischen Beweisen auseinander gesetzt.
Das Beweisen von Aussagen auf mathematischen Gebiet war sehr spannend, weshalb ich versuchte Beweise für diverse selbst gestellte Tatsachen in meiner Freizeit zu finden (die jedoch selbstverständlich bereits bewiesen wurden).
Natürlich habe ich am Anfang einige Fehler gemacht und war mir unsicher, ob mein Beweis richtig war.
Das selbe Problem habe ich nun.
Zunächst habe ich eine Frage bzw. Aussage formuliert und dann versucht einen entsprechenden Beweis zu finden.
Auch bei meiner neuesten Fragestellung (s.u.) bin ich so vorgegangen.
Ich frage mich nun, ob mein Vorgehen richtig war oder ob ich grobe Fehler eingebaut habe, denn ich bin mir sicher, dass ich irgendetwas falsch gemacht habe. Auch frage ich mich, ob meine Fragestellung richtig formuliert ist.
Danke für die Hilfe.
Bitte beachtet jedoch, dass ich grade erst mit dem Beweisen angefangen habe (s.o.) und so Fehler für mich zunächst noch ganz normal sind.
Meine Beweisführung lautet wie folgt:
(Warum) ist [mm] \wurzel{-b} \not\in \IR [/mm] , wenn [mm] b\in\IR [/mm] und >0 ?
oder: (Wieso) kann keine Wurzel aus negativen Zahlen gezogen werden (sodass das Ergebnis rational ist)?
Methode: indirekte Methode
Zu wiederlegende Aussage: [mm] \wurzel{-b} \in \IR
[/mm]
Sei [mm] e\in\IR [/mm] und >0, sei [mm] b\in\IR [/mm] und >0, sei [mm] f=e^2, [/mm] sodass f>0 und sei g=-b, sodass g<0, woraus folgt, dass [mm] f\not=g, [/mm] sondern f>g.
Wenn [mm] \wurzel{-b} [/mm] = e ist, dann ist [mm] e^2=-b [/mm] und somit f=-b, woraus folgen muss, dass f=g. (Widerspruch)
Da [mm] f\not=g [/mm] und nicht f=g, tritt ein Widerspruch auf, woraus folgt, dass die Aussage [mm] \wurzel{-b} \in \IR [/mm] falsch ist, weshalb stattdessen gilt: [mm] \wurzel{-b} \not\in \IR.
[/mm]
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Hallo und
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
> Sehr geehrte Matheforum-Mitglieder,
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> seit einiger Zeit interessiere ich mich auch privat für
> Mathematik und habe mich kürzlich mit mathematischen
> Beweisen auseinander gesetzt.
> Das Beweisen von Aussagen auf mathematischen Gebiet war
> sehr spannend, weshalb ich versuchte Beweise für diverse
> selbst gestellte Tatsachen in meiner Freizeit zu finden
> (die jedoch selbstverständlich bereits bewiesen wurden).
> Natürlich habe ich am Anfang einige Fehler gemacht und
> war mir unsicher, ob mein Beweis richtig war.
Das ist ein völlig normales Phänomen. Ich weiß nicht, wie es anderen hier geht, aber das geht mir heutzutage manchmal nach wie vor ebenso. 
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> Das selbe Problem habe ich nun.
> Zunächst habe ich eine Frage bzw. Aussage formuliert und
> dann versucht einen entsprechenden Beweis zu finden.
> Auch bei meiner neuesten Fragestellung (s.u.) bin ich so
> vorgegangen.
>
> Ich frage mich nun, ob mein Vorgehen richtig war oder ob
> ich grobe Fehler eingebaut habe, denn ich bin mir sicher,
> dass ich irgendetwas falsch gemacht habe. Auch frage ich
> mich, ob meine Fragestellung richtig formuliert ist.
>
> Danke für die Hilfe.
> Bitte beachtet jedoch, dass ich grade erst mit dem
> Beweisen angefangen habe (s.o.) und so Fehler für mich
> zunächst noch ganz normal sind.
>
> Meine Beweisführung lautet wie folgt:
>
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> (Warum) ist [mm]\wurzel{-b} \not\in \IR[/mm] , wenn [mm]b\in\IR[/mm] und >0
> ?
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> oder: (Wieso) kann keine Wurzel aus negativen Zahlen
> gezogen werden (sodass das Ergebnis rational ist)?
Hier muss es heißen: ...so dass das Ergebnis reell ist.
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> Methode: indirekte Methode
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> Zu wiederlegende Aussage: [mm]\wurzel{-b} \in \IR[/mm]
>
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> Sei [mm]e\in\IR[/mm] und >0, sei [mm]b\in\IR[/mm] und >0, sei [mm]f=e^2,[/mm] sodass
> f>0 und sei g=-b, sodass g<0, woraus folgt, dass [mm]f\not=g,[/mm]
> sondern f>g.
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> Wenn [mm]\wurzel{-b}[/mm] = e ist, dann ist [mm]e^2=-b[/mm] und somit f=-b,
> woraus folgen muss, dass f=g. (Widerspruch)
>
> Da [mm]f\not=g[/mm] und nicht f=g, tritt ein Widerspruch auf, woraus
> folgt, dass die Aussage [mm]\wurzel{-b} \in \IR[/mm] falsch ist,
> weshalb stattdessen gilt: [mm]\wurzel{-b} \not\in \IR.[/mm]
Ich kann in deinem Beweis keinen Fehler finden. Er weist einige Redundanzen auf, so die Belegung der Variablen e, f und g (die man m.A. auch weglassen kann). Und: er ist sicherlich ungewöhnlich.
Ich bin mir jetzt nicht mal so sicher, wie das für gewöhnlich gemacht wird, da der Sachverhalt sehr einfach ist. Die reellen Zahlen bilden einen sog. ![[]](/images/popup.gif) geordneten Körper, und es dürfte ein leichtes sein, für ein beliebiges Element aus einer solchen Struktur zu zeigen, dass für negative b [mm] a^2=b [/mm] im Widerspruch zu den Körper- und Anordnungsaxiomen steht. Ich würde jetzt einfach mal die Vermutung in den Raum stellen, dass dies der übliche Weg ist, deine Aussage zu begründen.
Aber wie gesagt: dein Beweis ist richtig und ich persönlich finde es klasse, welches Interesse an der Mathematik da aus deiner Frage spricht.
Eine Sache möchte ich noch loswerden: die Tatsache, dass man aus negativen Zahlen im Reellen keine Wurzeln ziehen kann, macht in keinster Weise die Existenz der Komplexen Zahlen notwendig. Diese Notwendigkeit gibt es aber natürlich (an allen Ecken der Mathematik möchte man fast sagen), aber wenn ich da richtig informiert bin tauchte diese Notwendigkeit historisch definitiv zum ersten Mal im 16. Jahrhundert bei Gerolamo Cardano auf der erkannte, dass man sie (bis auf einen scheinbaren Ausweg mit trigonometrischen Funktionen) zwingend benötigt, um Gleichungen 3. Ordnung zu lösen, auch und gerade, wenn diese nur reelle Lösungen besitzen!
Ich stelle mal deine Frage auf 'teilweise beantwortet' weil ich vermute, dass hier sicherlich noch weitere Antworten unter anderen Aspekten kommen werden.
Gruß, Diophant
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:58 Do 24.07.2014 | | Autor: | hippias |
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> (Warum) ist [mm]\wurzel{-b} \not\in \IR[/mm] , wenn [mm]b\in\IR[/mm] und >0
> ?
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> oder: (Wieso) kann keine Wurzel aus negativen Zahlen
> gezogen werden (sodass das Ergebnis rational ist)?
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> Methode: indirekte Methode
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> Zu wiederlegende Aussage: [mm]\wurzel{-b} \in \IR[/mm]
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> Sei [mm]e\in\IR[/mm] und >0, sei [mm]b\in\IR[/mm] und >0, sei [mm]f=e^2,[/mm] sodass
> f>0 und sei g=-b, sodass g<0, woraus folgt, dass [mm]f\not=g,[/mm]
> sondern f>g.
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> Wenn [mm]\wurzel{-b}[/mm] = e ist, dann ist [mm]e^2=-b[/mm] und somit f=-b,
> woraus folgen muss, dass f=g. (Widerspruch)
>
> Da [mm]f\not=g[/mm] und nicht f=g, tritt ein Widerspruch auf, woraus
> folgt, dass die Aussage [mm]\wurzel{-b} \in \IR[/mm] falsch ist,
> weshalb stattdessen gilt: [mm]\wurzel{-b} \not\in \IR.[/mm]
>
Ich kann mich insgesamt Diophant nur anschliessen. Moechte aber noch eine Anmerkung anbringen: Schoener und konsistenter erscheint es mir, wenn man die Fragestellung vielleicht so formuliert haette: Weshalb ist eine negative reelle Zahl keine Quadratzahl einer reellen Zahl? Und zwar aus folgenden Gruenden:
Es muss bei dem Beweis das Wesen der Wurzel, also ihre mathematische Definition, eingehen. Und die Wurzel aus einer reellen Zahl ist definiert als diejenige nichtnegative reelle Zahl, deren Quadrat die vorgegebene Zahl ergibt. Wenn man nun [mm] $\sqrt{-b}$ [/mm] aufschreibt, meint man also eine Zahl, die es ja gar nicht gibt. Aber das ist vermutlich nur eine Geschmacksfrage.
Ansonsten: Herzlichen Gleuckwunsch zu Deinem Beweis!
Als Anregung zur Analyse des Beweises: Weshalb konntest Du eigentlich sagen, dass $f>0$ ist? Wieso gibt es eigentlich zu positiven reellen Zahlen stets eine reelle Wurzel?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:17 Do 24.07.2014 | | Autor: | fred97 |
Ergänzend zu hippias:
Du hast in Deinem Beweis benutzt, dass das Quadrat einer reellen Zahl [mm] \ge [/mm] 0 ist.
Damit ist der Beweis kurz: sei b>0 und wir nehmen an, dass [mm] $w:=\wurzel{-b} \in \IR$ [/mm] ist.
Dann ist [mm] w^2=-b<0, [/mm] Widerspruch.
FRED
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