Beweis für Äquivalenzrelation < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Hi!
Irgendwie hab ich hier eine einfache Aufgabe, aber genau deswegen verstehe ich gar nicht, was da noch zu beweisen ist...
Es sei f eine reflexive und transitive Relation auf einer Menge A. Zu zeigen: Durch x~y: <=> ((x,y) [mm] \in [/mm] f und (y,x) [mm] \in [/mm] f) wird eine Äquivalenzrelation auf A definiert.
Das, was in der Klammer steht, zeigt doch, dass f symmetrisch ist. Ist dann f nicht automatisch eine Aquivalenrelation? Es sind doch dann alle drei Voraussetzungen da, oder?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:41 Fr 26.11.2004 | | Autor: | Micha |
Hallo!
> Hi!
> Irgendwie hab ich hier eine einfache Aufgabe, aber genau
> deswegen verstehe ich gar nicht, was da noch zu beweisen
> ist...
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> Es sei f eine reflexive und transitive Relation auf einer
> Menge A. Zu zeigen: Durch x~y: <=> ((x,y) [mm]\in[/mm] f und (y,x)
> [mm]\in[/mm] f) wird eine Äquivalenzrelation auf A definiert.
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> Das, was in der Klammer steht, zeigt doch, dass f
> symmetrisch ist. Ist dann f nicht automatisch eine
> Aquivalenrelation? Es sind doch dann alle drei
> Voraussetzungen da, oder?
Im Prinzip hast du recht, aber du musst das natürlich noch in eine mathematische Form bringen.
x~y: <=> ((x,y) [mm]\in[/mm] f und (y,x) [mm]\in[/mm] f)
Das und ist ein logisches und, und das darfst du vertauschen: $a [mm] \wedge [/mm] b = b [mm] \wedge [/mm] a$. Also ist
x~y: <=> ((y,x) [mm]\in[/mm] f und (x,y) [mm]\in[/mm] f)
und das ist nach der Definition (rückwärts angewandt) y~x.
Also ist x~y: <=> ((x,y) [mm]\in[/mm] f [mm]\wedge[/mm] (y,x) [mm]\in[/mm] f) [mm]\gdw[/mm]((y,x) [mm]\in[/mm] f [mm]\wedge[/mm] (x,y) [mm]\in[/mm] f) [mm]\gdw[/mm] y~x.
Also: x~y [mm] $\gdw$ [/mm] y~x.
Damit ist die Relation symmetrisch und nach Voraussetzung reflexiv und transitiv. Also ist es eine Äquivalenzrelation.
Gruß Micha 
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Verstehe aber trotzdem nicht, was so eine Aufgabe überhaupt bringen soll... Wenn doch schon alles da ist, also die gesamte Definition...
Danke dir!
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Ich habe jetzt versucht den zweiten Teil meiner Aufgabe selbst zu lösen, verstehe hier aber den Begriff "teilweise Ordnung" nicht. Hat es wieder was mit Reflexivität, Symmetrie und Transitivität zu tun? Wenn ja, wie soll ich denn da anfangen bzw. vorgehen?
Hier die Aufgabenstellung:
Für x [mm] \in [/mm] A sei [x] [mm] \in [/mm] A/~ dei Äquevalenzklasse von x bzgl. ~.
Zu zeigen: Durch [x] [mm] \le [/mm] [y] : [mm] \gdw [/mm] (x,y) [mm] \in [/mm] f
wird eine teilweise Ordnung auf A/~ definiert.
Bemerkung: Falls es wichtig ist, das Zeichen < ist bei mir auf dem Aufgabenblatt nach oben und unten geschweift abgebildet.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:21 Di 07.12.2004 | | Autor: | Julius |
Hallo!
Eine Relation heißt teilweise geordnet, wenn sie reflexiv, antisymmetrisch und transitiv ist.
Die Reflexivität und Transititvität von [mm] "$\le$" [/mm] folgen sofort aus der Reflexivität und Transitivität von $f$.
Die Antisymmetrie folgt so:
Gilt $[x] [mm] \le [/mm] [y]$ und $[y] [mm] \le [/mm] [x]$, also $(x,y) [mm] \in [/mm] f$ und $(y,x) [mm] \in [/mm] f$. so folgt nach Definition von [mm] $\sim$:
[/mm]
$x [mm] \sim [/mm] y$,
also: $[x]=[y]$.
Frag bitte nach, wenn was unklar ist.
Viele Grüße
Julius
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