Beweis für arithmet. Mittel < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:12 So 21.05.2006 | | Autor: | belgarda |
| Aufgabe | | Wie üblich bezeichnet [mm] A(x_{1}, [/mm] ..., [mm] x_{n}) [/mm] das arithmetische Mittel der Zahlen [mm] x_{1}, [/mm] ..., [mm] x_{n}. [/mm] Beweisen Sie, dass aus [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} a_{n}=a [/mm] stets [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} A(a_{1}, [/mm] ..., [mm] a_{n}) [/mm] = a folgt. |
Hallo, kann mir vielleicht jemand bei der Aufgabe helfen? Ich glaube, ich brauche nicht nur nen kleinen Tipp, sondern ne richtige "Generalerklärung" wie sowas geht u.was man hier machen soll, da ich echt keinen blassen Schimmer habe, wie man an sowas rangeht.
Vielen Dank im Vorraus.
Ich habe diese Frage in kein anderes Forum gestellt.
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Hallo belgarda!
Zunächst einmal sollte man sich hier klar machen, was das arithmetische Mittel aus $n_$ Elementen bedeutet:
[mm] $A(a_1,a_2,...,a_n) [/mm] \ = \ [mm] \bruch{a_1+a_2+a_3+...+a_n}{n} [/mm] \ =\ [mm] \bruch{1}{n}*\summe_{k=1}^{n}a_k$
[/mm]
Dann sollte man sich auch die Definition der Konvergenz [mm] $\limes_{n\rightarrow\infty}a_n [/mm] \ = \ a$ aufschreiben:
[mm] $\limes_{n\rightarrow\infty}a_n [/mm] \ = \ a$ [mm] $\gdw$ $\forall \varepsilon>0, [/mm] \ [mm] \exists n_0\in\IN, [/mm] \ [mm] \forall n\ge n_0 [/mm] \ : [mm] \left|a_n-a\right| [/mm] \ < \ [mm] \varepsilon$
[/mm]
Genauso wird die (nachzuweisende) Konvergenz von $A_$ formuliert:
[mm] $\forall \varepsilon>0, [/mm] \ [mm] \exists n_0\in\IN, [/mm] \ [mm] \forall n\ge n_0 [/mm] \ : [mm] \left|A(a_1,a_2,...,a_n)-a\right| [/mm] \ < \ [mm] \varepsilon$
[/mm]
Beginnen wir also:
[mm] $\left|A(a_1,a_2,...,a_n)-a\right| [/mm] \ = \ [mm] \left|\bruch{a_1+a_2+a_3+...+a_n}{n}-a\right| [/mm] \ = \ [mm] \left|\bruch{a_1+a_2+a_3+...+a_n-n*a}{n}\right| [/mm] \ = \ [mm] \bruch{\left|a_1-a+a_2-a+a_3-a+...+a_n-a\right|}{n} [/mm] \ [mm] \red{\le} [/mm] \ [mm] \bruch{ \left|a_1-a\right|+\left|a_2-a\right|+\left|a_3-a\right|+...+\left|a_n-a\right| }{n} [/mm] \ < \ ...$
Kannst Du nun die Bedingung für die Konvergenz [mm] $\limes_{n\rightarrow\infty}a_n [/mm] \ = \ a$ einsetzen und weiter abschätzen bis am Ende dieser Ungleichheitskette " $< \ [mm] \varepsilon$ [/mm] " steht?
Gruß vom
Roadrunner
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:32 Fr 26.05.2006 | | Autor: | Lena_S |
aber wie kann ich denn da
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}an=a
[/mm]
einsetzen
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:34 Sa 27.05.2006 | | Autor: | leduart |
Hallo Lena
> aber wie kann ich denn da
>
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}an=a[/mm]
> einsetzen
a) auch in Eile reden wir nicht im Telegrammstil miteinander!
b) Du sollst nicht [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}an=a[/mm] einsetzen, sondern die Bedingung für lim! die in dem post stand!
Gruss leduart
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