Beweis für diese Summe < Kombinatorik < Stochastik < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
|
[mm] \summe_{k=0}^{n} \vektor{n\\k}^{2} [/mm] = [mm] \vektor{2n\\n}
[/mm]
So dass wäre zu beweisen...
nach Umformung komme ich halt darauf, dass:
1 + [mm] \bruch{n^{2}}{1^{2}} [/mm] + [mm] \bruch{[n(n-1)]^{2}}{2^{2}} [/mm] + [mm] \bruch{[n(n-1)(n-2)]^{2}}{6^{2}} [/mm] + ... + [mm] \bruch{[n(n-1)(n-2)]^{2}}{6^{2}} [/mm] + [mm] \bruch{[n(n-1)]^{2}}{2^{2}} [/mm] + [mm] \bruch{n^{2}}{1^{2}} [/mm] + 1 = [mm] \bruch{(2n)!}{n!^{2}}
[/mm]
-->
[mm] \bruch{1}{(0!)^{2}} [/mm] + [mm] \bruch{n^{2}}{(1!)^{2}} [/mm] + [mm] \bruch{[n(n-1)]^{2}}{(2!)^{2}} [/mm] + [mm] \bruch{[n(n-1)(n-2)]^{2}}{(3!)^{2}} [/mm] + ... + [mm] \bruch{[n(n-1)(n-2)]^{2}}{(3!)^{2}} [/mm] + [mm] \bruch{[n(n-1)]^{2}}{(2!)^{2}} [/mm] + [mm] \bruch{n^{2}}{(1!)^{2}} [/mm] + [mm] \bruch{1}{(0!)^{2}} [/mm] = [mm] \bruch{(2n)!}{n!^{2}}
[/mm]
damit wäre ja schon das n!^{2} als Nenner begründet, aber wie komme ich nun auf die (2n)!?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:46 Do 16.06.2011 | | Autor: | algieba |
Hi
Diese Aussage kannst du nicht beweisen, da sie einfach falsch ist.
Beispiel: n=1
[mm] $\sum_{k=1}^1 \pmat{ n \\ k }^2 [/mm] = [mm] \pmat{ 1 \\ 1 }^2 [/mm] = 1$
Aber:
[mm] $\pmat{ 2 \\ 1 } [/mm] = [mm] \frac{2!}{1! * 1!} [/mm] = 2$
Bei n=2 geht es auch schief, da kommt dann nämlich 5=6 raus, und ich nehme mal an, dass es bei jedem n nicht klappen wird.
Ich nehme mal an, dass die Summe von k=0 bis n gehen soll, dann dürfte es passen.
Solche Gleichungen beweist man am besten per Induktion.
Viele Grüße
|
|
|
| |
|
da steht eigentlich k=0, also alle k von 0 bis n, daher ist die aussage doch richtig...
habe vollständige induktion schon versucht, nur müsste ich ein quadrat einer summe, durch eine andere teilen, und dann nocheinmal, was meinen aufwand nicht erleichtert, habe damit schon 5 Din A4 beschrieben, und noch immer kein beweis:(
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 05:27 Fr 17.06.2011 | | Autor: | Fulla |
Hallo,
deine Aufgabe ist ein Spezialfall der ![[]](/images/popup.gif) Vandermondeschen Identität.
Wenn du diese benutzen darfst, bist du ja schon fertig. Falls nicht, wende den Binomischen Lehrsatz auf beide Seiten der Gleichung
[mm](x+1)^n*(x+1)^n=(x+1)^{2n}[/mm]
an, multipliziere die linke Seite aus (Stichwort: Cauchy-Produkt) und mache einen Koeffizientenvergleich.
Lieben Gruß,
Fulla
|
|
|
| |
|
Ahh danke^^
nun kann ich es endlich beweisen;)
|
|
|
|
