Beweis für komplexe Zahlen < komplex < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:43 So 07.05.2006 | | Autor: | belgarda |
| Aufgabe | | Es seien z, a [mm] \in \IC [/mm] und |a|<1. Man zeige |(z-a)/(1- [mm] \overline{a} [/mm] z)| < 1 [mm] \gdw [/mm] |z| <1 |
Bin mir absolut nicht sicher, ob meine Beweisidee richtig ist, bzw. ob man sie überhaupt so durchführen kann: Ich muss ja für jedes z erstmal (a+bi) einsetzen - oder? Wenn ich dies dann getan hab, komme ich auf [mm] |(a+bi-a)/(1-\overline{a}(a+bi))|. [/mm] Gehe ich richtig in der Annahme, das [mm] \overline{a} [/mm] die Negation von a, also das Gleiche wie -a ist???
Naja, dann hab ich die Gleichung umgeformt und [mm] bi<1+a^{2}+abi [/mm] rausbekommen und würde nun für a und b eine Fallunterscheidung machen, in dem ich für a und b in Fall 1=1 einsetze und in Fall 2=0 setze. Dann müsste diese wahre Aussage die Behauptung beweisen ???
Kann sein dass es auch komplett anders funktioniert, könntet ihr mir bitte helfen???
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:37 So 07.05.2006 | | Autor: | dormant |
Hi!
> Es seien z, a [mm]\in \IC[/mm] und |a|<1. Man zeige |(z-a)/(1-
> [mm]\overline{a}[/mm] z)| < 1 [mm]\gdw[/mm] |z| <1
Auf [mm] \IC [/mm] gibt es keine Größenrelation, also sollen auf die Striche || auf eine Norm auf [mm] \IC [/mm] hinweisen. Ich geh davon aus, dass die konkrete Norm unwichtig ist.
> Bin mir absolut nicht sicher, ob meine Beweisidee richtig
> ist, bzw. ob man sie überhaupt so durchführen kann: Ich
> muss ja für jedes z erstmal (a+bi) einsetzen - oder?
Vielleicht. Was willst du denn dadurch erreichen? Ich glaube, dass man einfach mit den Normeigenschaften arbeiten sollte.
> Wenn ich dies dann getan hab, komme ich auf
> [mm]|(a+bi-a)/(1-\overline{a}(a+bi))|.[/mm] Gehe ich richtig in der
> Annahme, das [mm]\overline{a}[/mm] die Negation von a, also das
> Gleiche wie -a ist???
Nein. [mm] \overline{a} [/mm] ist die Konjugation der komplexen Zahl a. Falls a=x+iy gilt e [mm] \overline{a}=x-iy. [/mm] (und eben nicht -x-iy).
Der Rest deiner Überlegungen ist komplet daneben, da du reelle mit komplexen Zahlen addierst, was gar nicht geht. Um das kurz zu schildern: falls z=x+iy und a=g+ih (a ist AUCH komplex), dann gilt:
[mm] \left|\bruch{z-a}{1-\overline{a}z}\right|=
[/mm]
[mm] =\left|\bruch{x-g-i(y+h)}{1-(xg-ixh+iyg+yh)}\right|=
[/mm]
[mm] =\left|\bruch{x-g-i(y+h)}{1-xg-yh+i(xh-yg)}\right|.
[/mm]
Also es ist unwahrscheinlich, dass du so weiter kommst. Schau dir noch mal an, was eine Norm ist und versuch aus ihren Eigenschaften die Ungleichung zu beweisen.
Gruß,
dormant
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:26 Do 11.05.2006 | | Autor: | felixf |
Hallo Dormant!
> > Es seien z, a [mm]\in \IC[/mm] und |a|<1. Man zeige |(z-a)/(1-
> > [mm]\overline{a}[/mm] z)| < 1 [mm]\gdw[/mm] |z| <1
>
> Auf [mm]\IC[/mm] gibt es keine Größenrelation, also sollen auf die
> Striche || auf eine Norm auf [mm]\IC[/mm] hinweisen. Ich geh davon
> aus, dass die konkrete Norm unwichtig ist.
Also auf dem komplexen Vektorraum [mm] $\IC$ [/mm] gibt es genau eine Norm, naemlich den Betrag mit $|a + i [mm] b|^2 [/mm] = [mm] a^2 [/mm] + [mm] b^2$ [/mm] (fuer $a, b [mm] \in \IR$). [/mm] Es sei denn, du sprichst von [mm] $\IR$-Normen. [/mm] In der Funktionentheorie sollte man aber tunlichst mit [mm] $\IC$-Normen [/mm] arbeiten.
> > Bin mir absolut nicht sicher, ob meine Beweisidee richtig
> > ist, bzw. ob man sie überhaupt so durchführen kann: Ich
> > muss ja für jedes z erstmal (a+bi) einsetzen - oder?
Das ist eine sehr, sehr schlechte Idee, da du den Buchstaben $a$ jetzt doppelt verwendest.
Schreib doch [mm]z = x + i y[/mm], [mm]a = c + i d[/mm] mit $x, y, c, d [mm] \in \IR$.
[/mm]
> Vielleicht. Was willst du denn dadurch erreichen? Ich
> glaube, dass man einfach mit den Normeigenschaften arbeiten
> sollte.
Ich denke es ist hier essentiell, dass es eine [mm] $\IC$-Norm [/mm] ist, also dass $|a b| = |a| |b|$ gilt fuer $a, b [mm] \in \IC$.
[/mm]
> > Wenn ich dies dann getan hab, komme ich auf
> > [mm]|(a+bi-a)/(1-\overline{a}(a+bi))|.[/mm] Gehe ich richtig in der
> > Annahme, das [mm]\overline{a}[/mm] die Negation von a, also das
> > Gleiche wie -a ist???
>
> Nein. [mm]\overline{a}[/mm] ist die Konjugation der komplexen Zahl
> a. Falls a=x+iy gilt e [mm]\overline{a}=x-iy.[/mm] (und eben nicht
> -x-iy).
>
> Der Rest deiner Überlegungen ist komplet daneben, da du
> reelle mit komplexen Zahlen addierst, was gar nicht geht.
Wieso sollte das nicht gehen?! Die reellen Zahlen bilden einen Unterkoerper von [mm] $\IC$, [/mm] und man darf sehr wohl eine komplexe Zahl mit einer (rein) reellen Zahl verknuepfen.
LG Felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 09:57 Mo 08.05.2006 | | Autor: | Loddar |
Hallo belgarda!
Bitte stelle eine beantwortete Frage nicht unkommentiert wieder auf den Status "unbeantwortet".
Wenn Dir noch etwas unklar sein sollte, poste hier doch Deine (konkreten) Rückfragen.
Gruß
Loddar
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:46 Mo 08.05.2006 | | Autor: | belgarda |
| Aufgabe | | Wieso wird nichts angezeigt |
Hi Loddar, danke für deinen Hinweis, aber ich habe vor ca. 5 min. meine konkrete Rückfrage gestellt, die aber aus irgendwelchen Gründen nicht angezeigt wird. Wo könnte sie noch gespeichert sein- will das Ganze nicht nochmal abtippen müssen
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| Aufgabe | | |(z-a)/(1- [mm] \overline{a} [/mm] z)| < 1 wie muss ich das umstellen |
Hallöchen, erstmal danke für die Antworten,
Ich hab mich jetzt soweit schlau gemacht, dass ich |z|als [mm] \wurzel{a^2 + b^2 } [/mm] betrachten kann. Doch wie forme ich die andere Seite möglichst schlau für den Beweis um? Sollte ich jetzt für z überall a+bi einsetzen? Bei einer gdw. Beweisführung muss ich doch auch noch beide Richtungen beweisen? Darf ich |(z-a)/(1- [mm] \overline{a} [/mm] z)| als Betrag auffassen und auch Kürzungen vornehmen? Wie muss ich mit dem - verfahren? Wie kann man das [mm] \overline{a} [/mm] vereinfachen? Kann mir vielleicht jemand die Formel umstellen, da ich wirklich noch keinen Plan davon habe und ich dies dann erstmal nachvollziehen kann? Hat jemand ne Idee für die konkrete Beweisführung?
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Icha habe das jetzt auc probiert und hänge an gleicher Stelle... hat jemand noch ne kleine Idee?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:28 Do 11.05.2006 | | Autor: | PottKaffee |
Hallo zusammen ...
vielleicht Hilft euch ja folgender Hinweis weiter ....
Für die Beträge der komplexen Zahlen [mm] z_1,z_2,z_3 [/mm] gilt:
[mm] |z_1 + z_2| \le |z_1|+|z_2| [/mm] Dreiecksungleichung
[mm] |z_1 - z_2| \ge ||z_1|-|z_2|| [/mm] 2. Dreiecksungleichung
[mm] |z_1*z_2|=|z_1|*|z_2| [/mm]
[mm] \vmat{ \bruch{z_1}{z_2} }= \bruch{|z_1|}{|z_2|} [/mm]
[mm] |z^n|=|z|^n [/mm] [mm] \forall n\in\IN
[/mm]
[mm] |z^2|=|z|^2=z* \overline{z} [/mm]
Ich würde es mal hiermit probieren...
MfG
Oliver
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| Aufgabe | | Beweis Teil 1 mit Dreiecksungleichung? |
Vielen Dank für die Antworten, aber ich bin echt noch am Anfang meines Studiums und hab vorher noch null von Komplexer Analysis gehört. Deshalb danke für den Tipp mit der Dreiecksungleichung aber ich habe trotzdem Null Ahnung, wie ich diese sinnvoll in den Beweis einbringen kann! Könntet ihr die Antworten vielleicht wirklich ganz konkret auf die Aufgabe beziehen, es läuft mir auch irgendwie die Zeit weg, spätestens heut Abend muss ich die Aufgabe gelöst haben. Bin echt für jede Hilfe dankbar! VG belgarda
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:16 Do 11.05.2006 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> Icha habe das jetzt auc probiert und hänge an gleicher
> Stelle... hat jemand noch ne kleine Idee?
Wie waers, wenn ihr erstmal zeigt, dass [mm] $\left| \frac{z - a}{1 - \overline{a} z} \right| [/mm] = 1$ ist genau dann, wenn $|z| = 1$ ist?
Setze $f(z) := [mm] \frac{z - a}{1 - \overline{a} z}$
[/mm]
Damit kann man folgendes Argument durchfuehren:
- Man rechnet nach, dass fuer irgendein [mm] $z_0$ [/mm] mit [mm] $|z_0| [/mm] < 1$ gilt [mm] $|f(z_0)| [/mm] < 1$. (Etwa $z = a$.)
- Man rechnet nach, dass fuer irgendein [mm] $z_1$ [/mm] mit [mm] $|z_1| [/mm] > 1$ gilt [mm] $|f(z_1)| [/mm] > 1$.
- Sei $z$ mit $|z| < 1$. Sei [mm] $\gamma [/mm] : [0, 1] [mm] \to \IC$ [/mm] die stetige Verbindungsstrecke von $z$ nach [mm] $z_0$. [/mm] Also ist $|f [mm] \circ \gamma| [/mm] : [0, 1] [mm] \to \IR_{\ge 0}$ [/mm] stetig. Da [mm] $|\gamma(t)| [/mm] < 1$ fuer alle $t$ gilt jedoch $|f [mm] \circ \gamma(t)| \neq [/mm] 1$ fuer alle $t$. Nun ist [mm] $\gamma(1) [/mm] = [mm] z_0$, [/mm] also $|f [mm] \circ \gamma(1)| [/mm] < 1$. Also muss $|f [mm] \circ \gamma|(t) [/mm] < 1$ sein fuer alle $t$, insbesondere also auch fuer $t = 0$ mit [mm] $\gamma(0) [/mm] = z$ (dies ist im Endeffekt der Zwischenwertsatz!).
- Sei nun $z$ mit $|z| > 1$. Genauso findet man einen stetigen Weg [mm] $\gamma [/mm] : [0, 1] [mm] \to \IC$ [/mm] mit [mm] $\gamma(0) [/mm] = z$ und [mm] $\gamma(1) [/mm] = [mm] z_1$ [/mm] mit [mm] $|\gamma(t)| \neq [/mm] 1$ fuer alle $t$. Ebenso muss dann $|f [mm] \circ \gamma(0)| [/mm] > 1$ sein, da $|f [mm] \circ \gamma(1)| [/mm] > 1$ ist.
Bleibt also zu zeigen, dass $|f(z)| = 1$ genau dann der Fall ist, wenn $|z| = 1$ ist. Wenn $|z| = 1$ ist kann man sehr schnell zeigen, dass $|f(z)| = 1$ ist (Nenner mit was passendem mit Betrag 1 multiplizieren, dabei beachten dass $x [mm] \overline{x} [/mm] = [mm] |x|^2$ [/mm] ist).
Die quick-and-dirty-Methode ist zu argumentieren, dass $f$ injektiv ist. Wir haben gezeigt, dass $f$ den Kreis $D := [mm] \{ z \mid |z| = 1 \}$ [/mm] in sich selber abbildet. Betrachte den stetigen, injektiven geschlossenen Weg [mm] $\gamma [/mm] : [0, 1] [mm] \to [/mm] D$, $t [mm] \mapsto e^{2 \pi i t}$. [/mm] Dann ist $f [mm] \circ \gamma [/mm] : [0, 1] [mm] \to [/mm] D$ ebenfalls ein stetiger, injektiver geschlossener Weg.
Damit muss jedoch $f [mm] \circ \gamma [/mm] : [0, 1] [mm] \to [/mm] D$ surjektiv sein, womit $f(D) = D$ ist. Da $f$ injektiv ist, folgt daraus jedoch $|z| = 1 [mm] \Leftrightarrow [/mm] |f(z)| = 1$.
Ich kann mir gut vorstellen, dass man das auch elementarer machen kann, ich weiss jedoch nicht wie (und ich hab es schon ab und an versucht...).
LG Felix
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:57 Do 11.05.2006 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> Es seien z, a [mm]\in \IC[/mm] und |a|<1. Man zeige |(z-a)/(1-
> [mm]\overline{a}[/mm] z)| < 1 [mm]\gdw[/mm] |z| <1
So, ein Freund von mir hat mir noch folgende Loesung gesteckt:
Man zeigt zuerst die Hilfsbehauptung $|1 - z [mm] \overline{a}|^2 [/mm] - |z - [mm] a|^2 [/mm] = (1 - [mm] |z|^2) [/mm] (1 - [mm] |a|^2)$.
[/mm]
Wenn man diese hat, kann man daraus recht leicht die Aequivalenz folgern.
Um die Hilfsbehauptung zu zeigen kann man sicher $a$ und $z$ durch $a = c + i d$ und $z = x + i y$, $c, d, x, y [mm] \in \IR$ [/mm] ausdruecken und das ``von Hand'' nachpruefen.
Oder man wendet [mm] $|x|^2 [/mm] = x [mm] \overline{x}$ [/mm] auf alle Betraege in der Gleichung an und rechnet das dann nach. Sollte sogar noch schneller gehen.
LG Felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 01:41 Fr 12.05.2006 | | Autor: | PottKaffee |
Hallo zusammen ...
also ich habe mir mal folgendes überlegt:
ich bin kein Mathematiker - Beweise sind also nicht so mein Ding
Soweit wie ich das noch in Erinnerung habe beweist man Äquivalenzen in zwei Schritte. Einmal [mm] "\Rightarrow" [/mm] und dann [mm] "\Leftarrow". [/mm]
Schritt 1:
[mm] "\Rightarrow" [/mm] |a|<1:
[mm] \vmat{ \bruch{(z-a)}{1-z \overline{a}} }<1 \gdw \bruch{|(z-a)|}{|1-z \overline{a} |}<1 [/mm]
[mm] \gdw |(z-a)|<|(1-z \overline{a} )| [/mm]
[mm] \gdw |(z-a)|-|(1-z \overline{a} )|<0 [/mm]
[mm] \gdw -|(1-z \overline{a} )| + |(z-a)|<0 [/mm]
[mm] \gdw |(1-z \overline{a} )| - |(z-a)|>0 [/mm]
[mm] \gdw \bruch{(|(1-z \overline{a} )|-|z-a|)*(|(1-z \overline{a} )|+|(z-a)|}{(|(1-z \overline{a})|+|(z-a)|}>0 [/mm]
[mm] \gdw (|(1-z \overline{a} )|^2-|z-a|^2)>0 [/mm]
[mm] \mbox{ mit } |(1-z \overline{a} )|^2-|(z-a)|^2 = (1-|z|^2)*(1-|a|^2) [/mm]
[mm] \gdw (1-|z|^2)(1-|a|^2)>0 [/mm]
[mm] \gdw (1-|z|^2) > 0 [/mm]
[mm] \gdw 1 > |z| \gdw |z|<1 [/mm] w.z.b.w.
aber ob das so stimmt? - Ich habe ja nirgends die Vorraussetzung gebraucht das |a|<1 !! Oder war das die Vorraussetzung das überhaupt [mm] \vmat{ \bruch{(z-a)}{1-z \overline{a}} }<1 [/mm] gilt?
Schritt 2:
" [mm] \Leftarrow"
[/mm]
müsste ja nun so aussehen, dass ich aus |z|<1 folgere, dass [mm] \vmat{ \bruch{(z-a)}{1-z \overline{a}} }<1 [/mm] gilt.
Naja, also vielleicht hat jemand noch ne bessere Lösung.
MfG
Oliver
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 01:56 Fr 12.05.2006 | | Autor: | PottKaffee |
Hallo nochmal ...
um nicht die x-te Revision meiner Lösung zu presentieren ....
Also durch die [mm] "\gdw" [/mm] im Beweis - hat man alles gezeigt, da gibt es keinen 2ten Schritt.
MfG
Oliver
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:35 So 14.05.2006 | | Autor: | belgarda |
Ich glaube die letzte Idee zum Beweis sieht echt gut aus. Wir werden die Aufgabe sicher an der Uni vergleichen. Falls wir dort noch ne ganz andere Beweisidee bekommen, werde ich diese mitteilen.
Vielen, vielen Dank für eure Hilfe beim Lösen!
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