Beweis für lok. Minimum < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:07 Di 27.07.2010 | | Autor: | Abu_Dun |
| Aufgabe | | Ist [mm] U\subset \IR^{n} [/mm] eine offene Umgebung von [mm] \xi, f:U\to\IR [/mm] differenzierbar und [mm] (x-\xi)*grad [/mm] f(x) > 0 fuer x [mm] \in U\backslash\{\xi\}, [/mm] so hat f an der Stelle [mm] \xi [/mm] ein lok. Min. im strengen Sinn. Es genuegt, dass f in U stetig und in [mm] U\backslash\{\xi\} [/mm] diffbar ist. |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Da ich noch nicht so vertraut mit dem differenzieren im [mm] \IR^n [/mm] bin, will ich ein paar Aufgaben dazu machen. Leider gibt es dazu im Buch keine Loesung... koennt ihr mir vllt. noch eine Homepage mit ein paar guten Aufgaben und Loesungen empfehlen?
Zu der Aufgabe:
Strenges, lok. Minimum [mm] \Rightarrow [/mm] man muss [mm] f(\xi+h)-f(\xi)>0 [/mm] fuer kleine h zeigen.
Also dachte ich mir mit linearer Approximation zu arbeiten
[mm] f(\xi+h)-f(\xi)=h*grad f(\xi) [/mm] + [mm] w(h)>\xi*grad f(\xi) [/mm] + w(h)
und da [mm] w(h)\to [/mm] 0 fuer [mm] h\to [/mm] 0 waere das fuer kleine h groesser 0.
Ist das so korrekt? Und habt ihr noch ein paar Uebungsaufgaben dazu?
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:45 Di 27.07.2010 | | Autor: | fred97 |
> Ist [mm]U\subset \IR^{n}[/mm] eine offene Umgebung von [mm]\xi, f:U\to\IR[/mm]
> differenzierbar und [mm](x-\xi)*grad[/mm] f(x) > 0 fuer x [mm]\in U\backslash\{\xi\},[/mm]
> so hat f an der Stelle [mm]\xi[/mm] ein lok. Min. im strengen Sinn.
> Es genuegt, dass f in U stetig und in [mm]U\backslash\{\xi\}[/mm]
> diffbar ist.
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>
> Da ich noch nicht so vertraut mit dem differenzieren im
> [mm]\IR^n[/mm] bin, will ich ein paar Aufgaben dazu machen. Leider
> gibt es dazu im Buch keine Loesung... koennt ihr mir vllt.
> noch eine Homepage mit ein paar guten Aufgaben und
> Loesungen empfehlen?
>
> Zu der Aufgabe:
> Strenges, lok. Minimum [mm]\Rightarrow[/mm] man muss
> [mm]f(\xi+h)-f(\xi)>0[/mm] fuer kleine h zeigen.
> Also dachte ich mir mit linearer Approximation zu
> arbeiten
> [mm]f(\xi+h)-f(\xi)=h*grad f(\xi)[/mm] + [mm]w(h)>\xi*grad f(\xi)[/mm] +
> w(h)
> und da [mm]w(h)\to[/mm] 0 fuer [mm]h\to[/mm] 0 waere das fuer kleine h
> groesser 0.
> Ist das so korrekt?
nein. Du benutzt die Differenzierbarkeit von f in [mm] \xi. [/mm] f ist aber nur in $ [mm] U\backslash\{\xi\} [/mm] $ differenzierbar.
Sei h [mm] \ne [/mm] 0 mit: $x(t):= [mm] \xi+t*h \in [/mm] U$ für t [mm] \in [/mm] [0,1]
Setze $g(t):=f(x(t))$ für t [mm] \in [/mm] [0,1]. Dann ist g auf (0,1] differenzierbar. Zeige mit der Vor.
$ [mm] (x-\xi)\cdot{}grad [/mm] $ f(x) > 0 fuer x $ [mm] \in U\backslash\{\xi\}, [/mm] $ ,
dass $g'(t)>0$ ist für t [mm] \in [/mm] (0,1]. g ist also auf (0,1] streng wachsend. Folgere hieraus:
[mm] $f(\xi) =g(0)
FRED
> Und habt ihr noch ein paar
> Uebungsaufgaben dazu?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:11 Di 27.07.2010 | | Autor: | Abu_Dun |
gut, das wäre sonst auch zu leicht gewesen! xD
Deiner Anleitung folgend:
[mm] g'(x)=f'(\xi+th)*h=\frac{1}{t}f'(\xi+th)(\xi+th-\xi)>0 [/mm] nach Vorraussetzung
also g mon. wachsend. Da f und x stetig sind, gilt [mm] g(0)=f(x(0))=\limes_{h\rightarrow 0} f(x(h))=\limes_{h\rightarrow 0} g(h)
Das sieht auch schon viel besser aus finde ich. Ist es jetzt richtig?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 17:16 Di 27.07.2010 | | Autor: | fred97 |
> gut, das wäre sonst auch zu leicht gewesen! xD
>
> Deiner Anleitung folgend:
> [mm]g'(x)=f'(\xi+th)*h=\frac{1}{t}f'(\xi+th)(\xi+th-\xi)>0[/mm]
Das Argument von g ist t, also: [mm]g'(t)=f'(\xi+th)*h=\frac{1}{t}f'(\xi+th)(\xi+th-\xi)>0[/mm]
> nach Vorraussetzung
> also g mon. wachsend. Da f und x stetig sind, gilt
> [mm]g(0)=f(x(0))=\limes_{h\rightarrow 0} f(x(h))=\limes_{h\rightarrow 0} g(h)
h ist doch schon vergeben ! Besser:
[mm]f(\xi)=g(0)=f(x(0))=\limes_{t\rightarrow 0+0} f(x(t))=\limes_{t\rightarrow 0+0} g(t)
>
> Das sieht auch schon viel besser aus finde ich. Ist es
> jetzt richtig?
s.o.
FRED
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:42 Di 27.07.2010 | | Autor: | Abu_Dun |
Okay. Vielen Dank! 
|
|
|
|
