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Forum "Zahlentheorie" - Beweis: ggT(a,b)=ggT(a,a+b)
Beweis: ggT(a,b)=ggT(a,a+b) < Zahlentheorie < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Beweis: ggT(a,b)=ggT(a,a+b): Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 10:42 So 20.03.2011
Autor: sven__

Aufgabe
Man zeige: ggT(a, b) = ggT(a, a+b)

d|a [mm] \wedge [/mm] d|b [mm] \Rightarrow \bruch{a}{d} \in \IZ \wedge \bruch{b}{d} \in \IZ \Rightarrow \bruch{a+b}{d} \in \IZ \Rightarrow [/mm] d|(a+b). Soweit so gut. Aber wie zeige ich, dass eben jenes d auch der größte Teiler ist bzw. der ggT von a und b gleich dem ggT von a und a+b ist?

mfG Sven

Ich habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen Internetseiten gestellt: http://www.matheboard.de/thread.php?threadid=450007

        
Bezug
Beweis: ggT(a,b)=ggT(a,a+b): Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 10:58 So 20.03.2011
Autor: Lippel

Morgen Sven,

> Man zeige: ggT(a, b) = ggT(a, a+b)
>  d|a [mm]\wedge[/mm] d|b [mm]\Rightarrow \bruch{a}{d} \in \IZ \wedge \bruch{b}{d} \in \IZ \Rightarrow \bruch{a+b}{d} \in \IZ \Rightarrow[/mm]
> d|(a+b). Soweit so gut. Aber wie zeige ich, dass eben jenes
> d auch der größte Teiler ist bzw. der ggT von a und b
> gleich dem ggT von a und a+b ist?

Es gelte: $d = [mm] ggT(a,b)\:$. [/mm] Angenommen es gilt $c = [mm] ggT(a,a+b)\:$ [/mm] und $c > d$.

Du weißt dann: $c [mm] \:|\:a$ [/mm] und $c [mm] \:|\: [/mm] a+b [mm] \Rightarrow \frac{a}{c}=m, \frac{a+b}{c}=n$ [/mm] mit $m,n [mm] \in \IZ \Rightarrow \frac{b}{c} [/mm] = [mm] \frac{a+b-a}{c} [/mm] = [mm] \frac{a+b}{c}+\frac{a}{c} [/mm] = n+m [mm] \in \IZ \Rightarrow [/mm] c [mm] \:|\: [/mm] b$

Damit teilt [mm] $c\:$ [/mm] sowohl [mm] $a\:$ [/mm] als auch [mm] $b\:$, [/mm] und es gilt $c > [mm] d=ggT(a,b)\:$. [/mm] Das ist ein Widerspruch, also kann es ein solches [mm] $c\:$ [/mm] nicht geben. Also ist bereits [mm] $d=ggT(a,a+b)\:$. [/mm]

LG Lippel

Bezug
                
Bezug
Beweis: ggT(a,b)=ggT(a,a+b): Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 11:17 So 20.03.2011
Autor: sven__

Hallo Lippel. Danke für deine Antwort. Allerdings kann ich den Widerspruch nicht entdecken. Warum kann es ein solches c nicht geben?

mfG Sven

Bezug
                        
Bezug
Beweis: ggT(a,b)=ggT(a,a+b): Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 11:21 So 20.03.2011
Autor: Lippel

[mm] $c\:$ [/mm] würde ja [mm] $a\:$ [/mm] und [mm] $b\:$ [/mm] teilen, wäre also eine gemeinsamer Teiler von [mm] $a\:$ [/mm] und [mm] $b\:$, [/mm] aber größer als der größte gemeinsame Teiler. Ein gemeinsamer Teiler kann aber natürlich nicht echt größer als der größte gemeinsame Teiler sein, denn damit wäre dieser nicht mehr der größte.

LG Lippel

Bezug
                                
Bezug
Beweis: ggT(a,b)=ggT(a,a+b): Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 11:25 So 20.03.2011
Autor: sven__

Ich glaube, jetzt hab ichs. Danke!

Bezug
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